а) Решите уравнение tg(̇̀́/2 - x) = tg(̀́ + x). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (0; 9̀́/8).

а) Решим уравнение $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{tg}(\pi + x)$. Используем формулы приведения: $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \text{ctg } x$ $\text{tg}(\pi + x) = \text{tg } x$ Уравнение принимает вид: $\text{ctg } x = \text{tg } x$. Перейдём к синусам и косинусам: $\frac{\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\cos x}$. ОДЗ: $\sin x \neq 0$ и $\cos x \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$. $\cos^2 x = \sin^2 x$ $\cos^2 x - \sin^2 x = 0$ $\cos(2x) = 0$ $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ Данные корни входят в ОДЗ. б) Найдем корни на промежутке $\left(0; \frac{9\pi}{8}\right)$. Подставим различные $n$: При $n=0: x = \frac{\pi}{4} \in \left(0; \frac{9\pi}{8}\right)$ (так как $\frac{2̇\pi}{8} < \frac{9̇\pi}{8}$) При $n=1: x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} \in \left(0; \frac{9\pi}{8}\right)$ (так как $\frac{6̇\pi}{8} < \frac{9̇\pi}{8}$) При $n=2: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4} = \frac{10\pi}{8} \notin \left(0; \frac{9\pi}{8}\right)$ Ответ: а) $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$ б) $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$