Решите уравнение $|2\text{tg}x - 5| - |2\text{tg}x - 1| = 2$.

7. а) Реши уравнение $|2\text{tg}x - 5| - |2\text{tg}x - 1| = 2$. Сделаем замену $y = 2\text{tg}x$. Тогда уравнение примет вид: $|y - 5| - |y - 1| = 2$. Рассмотрим три случая: Случай 1: $y < 1$ $-(y - 5) - (-(y - 1)) = 2$ $-y + 5 + y - 1 = 2$ $4 = 2$ Это неверное равенство, значит, решений в этом случае нет. Случай 2: $1 \le y < 5$ $-(y - 5) - (y - 1) = 2$ $-y + 5 - y + 1 = 2$ $-2y + 6 = 2$ $-2y = -4$ $y = 2$ Это значение подходит к условию $1 \le y < 5$. Случай 3: $y \ge 5$ $(y - 5) - (y - 1) = 2$ $y - 5 - y + 1 = 2$ $-4 = 2$ Это неверное равенство, значит, решений в этом случае нет. Итак, единственное решение для $y$ это $y = 2$. Вернёмся к замене: $2\text{tg}x = 2$, откуда $\text{tg}x = 1$. Общее решение для $\text{tg}x = 1$ равно $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Нам нужно найти такие $n$, для которых $\text{tg}x = 1$ и $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$ находится в отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$. Подставим наше решение в неравенство: $-\frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le \frac{\pi}{2}$ Разделим все части неравенства на $\pi$ (учти, что $\pi > 0$, поэтому знаки неравенства не меняются): $-\frac{1}{2} \le \frac{1}{4} + n \le \frac{1}{2}$ Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей неравенства: $-\frac{1}{2} - \frac{1}{4} \le n \le \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$ $-\frac{2}{4} - \frac{1}{4} \le n \le \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$ $-\frac{3}{4} \le n \le \frac{1}{4}$ Поскольку $n$ должно быть целым числом, единственное целое значение $n$, удовлетворяющее этому неравенству, это $n = 0$. При $n = 0$, $x = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4}$. Проверим, принадлежит ли $\frac{\pi}{4}$ отрезку $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$: $-\frac{\pi}{2} \approx -1.57$ $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$ $-1.57 \le 0.785 \le 1.57$, что верно. **Ответ:** $\frac{\pi}{4}$. 8. а) Решите уравнение $2\sin^2x - 2\cos2x - \sin2x = 0$. Используем формулы двойного угла и формулу для $\cos2x$: $\sin2x = 2\sin x \cos x$ $\cos2x = 1 - 2\sin^2x$ Подставим эти формулы в уравнение: $2\sin^2x - 2(1 - 2\sin^2x) - 2\sin x \cos x = 0$ Раскроем скобки: $2\sin^2x - 2 + 4\sin^2x - 2\sin x \cos x = 0$ Приведём подобные члены: $6\sin^2x - 2\sin x \cos x - 2 = 0$ Поделим всё уравнение на 2: $3\sin^2x - \sin x \cos x - 1 = 0$ Заменим $1$ на $\sin^2x + \cos^2x$ (основное тригонометрическое тождество): $3\sin^2x - \sin x \cos x - (\sin^2x + \cos^2x) = 0$ Раскроем скобки и приведём подобные члены: $3\sin^2x - \sin x \cos x - \sin^2x - \cos^2x = 0$ $2\sin^2x - \sin x \cos x - \cos^2x = 0$ Это однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Если $\cos x = 0$, то $2\sin^2x = 0$, что означает $\sin x = 0$. Но $\sin x$ и $\cos x$ не могут быть равны нулю одновременно. Значит, $\cos x \neq 0$, и мы можем разделить все члены уравнения на $\cos^2x$: $\frac{2\sin^2x}{\cos^2x} - \frac{\sin x \cos x}{\cos^2x} - \frac{\cos^2x}{\cos^2x} = 0$ $2\text{tg}^2x - \text{tg}x - 1 = 0$ Сделаем замену $t = \text{tg}x$. Тогда уравнение примет вид: $2t^2 - t - 1 = 0$ Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$ $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $t_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 3}{4} = \frac{4}{4} = 1$ $t_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 3}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ Теперь вернёмся к замене $\text{tg}x = t$: 1) $\text{tg}x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg}x = -\frac{1}{2}$ $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ **Ответ:** $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $n, k \in \mathbb{Z}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi; -\frac{9\pi}{2}\right]$. Рассмотрим каждый набор решений по отдельности. Для $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: $-6\pi \le \frac{\pi}{4} + \pi n \le -\frac{9\pi}{2}$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $-6 \le \frac{1}{4} + n \le -\frac{9}{2}$ Вычтем $\frac{1}{4}$ из всех частей: $-6 - \frac{1}{4} \le n \le -\frac{9}{2} - \frac{1}{4}$ $-\frac{24}{4} - \frac{1}{4} \le n \le -\frac{18}{4} - \frac{1}{4}$ $-\frac{25}{4} \le n \le -\frac{19}{4}$ $-6.25 \le n \le -4.75$ Единственное целое значение $n$ в этом интервале — $n = -5$. При $n = -5$: $x = \frac{\pi}{4} + \pi(-5) = \frac{\pi}{4} - 5\pi = \frac{\pi}{4} - \frac{20\pi}{4} = -\frac{19\pi}{4}$ Проверим: $-6\pi = -\frac{24\pi}{4}$ $-\frac{9\pi}{2} = -\frac{18\pi}{4}$ $-24\pi/4 \le -19\pi/4 \le -18\pi/4$, что верно. Для $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2} ight) + \pi k$: Мы знаем, что $-\frac{\pi}{2} < \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) < 0$. Пусть $\alpha = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right)$. $-6\pi \le \alpha + \pi k \le -\frac{9\pi}{2}$ $-6 \le \frac{\alpha}{\pi} + k \le -\frac{9}{2}$ $-6 - \frac{\alpha}{\pi} \le k \le -\frac{9}{2} - \frac{\alpha}{\pi}$ Приближенно $\alpha \approx -0.4636$ радиан. $\frac{\alpha}{\pi} \approx -0.1475$ $-6 - (-0.1475) \le k \le -4.5 - (-0.1475)$ $-6 + 0.1475 \le k \le -4.5 + 0.1475$ $-5.8525 \le k \le -4.3525$ Целые значения $k$ в этом интервале — $k = -5$ и $k = -4$. При $k = -5$: $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) - 5\pi$ При $k = -4$: $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) - 4\pi$ Проверим эти значения. Для $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) - 5\pi$: $x \approx -0.4636 - 5 \cdot 3.14159 \approx -0.4636 - 15.70795 \approx -16.17155$ Границы: $-6\pi \approx -18.84954$, $-\frac{9\pi}{2} \approx -14.13715$ $-18.84954 \le -16.17155 \le -14.13715$, это верно. Для $x = \text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) - 4\pi$: $x \approx -0.4636 - 4 \cdot 3.14159 \approx -0.4636 - 12.56636 \approx -13.02996$ Это значение не попадает в интервал, так как $-13.02996 > -14.13715$. Значит, только $k = -5$ подходит. **Ответ:** $-\frac{19\pi}{4}$, $\text{arctg}\left(-\frac{1}{2}\right) - 5\pi$.