13. а) Решите уравнение tg²x + (1 + √3)tgx + √3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

13. а) Решите уравнение $\text{tg}^2 x + (1 + \sqrt{3}) \text{tg } x + \sqrt{3} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\frac{5\pi}{2}; 4\pi]$. **Ответ:** **а) $-\frac{\pi}{4} + \pi n, -\frac{\pi}{3} + \pi k, n, k \in \mathbb{Z}$** **б) $\frac{8\pi}{3}, \frac{11\pi}{4}, \frac{11\pi}{3}$** **Решение:** а) Пусть $t = \text{tg } x$. Получаем квадратное уравнение: $$t^2 + (1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = (1 + \sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$$ Найдём корни $t$: $$t_1 = \frac{-(1 + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$t_2 = \frac{-(1 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}$$ Вернёмся к переменной $x$: 1) $\text{tg } x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -\sqrt{3} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни на отрезке $[2,5\pi; 4\pi]$: 1. Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$: - $n=3: x = 2,75\pi$ (входит) - $n=4: x = 3,75\pi$ (входит) 2. Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: - $k=3: x = 2\frac{2}{3}\pi \approx 2,67\pi$ (входит) - $k=4: x = 3\frac{2}{3}\pi \approx 3,67\pi$ (входит) Итоговые значения: $\frac{8\pi}{3}, \frac{11\pi}{4}, \frac{11\pi}{3}$.