1. В ящике находятся 4 белых и 8 чёрных шаров. Наугад вынимают один из них. Найти вероятность того, что вынут чёрный шар.

Привет! Давай разберем задачи по теории вероятностей. Все они решаются по классическому определению: вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. **1. Задача:** Общее количество шаров: $4 + 8 = 12$. Количество черных шаров: 8. Вероятность $P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$. **Ответ: 2/3.** **2. Задача:** Вероятность выигрыша $P(A) = 8 \cdot 10^{-5} = 0,00008$. Событие "без выигрыша" — противоположное. Его вероятность $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,00008 = 0,99992$. **Ответ: 0,99992.** **3. Задача:** Всего испытаний: $9 + 12 = 21$. Количество выпадений орла: 12. Частота $f = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$. **Ответ: 4/7.** **4. Задача:** Всего возможных комбинаций при броске двух кубиков: $6 \cdot 6 = 36$. Благоприятные исходы (на красном 5, на зеленом нечетное: 1, 3, 5): (5, 1), (5, 3), (5, 5). Их всего 3. Вероятность $P = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$. **Ответ: 1/12.** **5. Задача:** Множество чисел: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Событие А (делитель 8): {1, 2, 4, 8}. Событие В (кратно 4): {4, 8}. Сумма событий $A + B$ (объединение) — событие, состоящее в том, что число либо является делителем 8, либо кратно 4: {1, 2, 4, 8}. Произведение событий $AB$ (пересечение) — событие, состоящее в том, что число и является делителем 8, и кратно 4 одновременно: {4, 8}. **Ответ: А+В: {1, 2, 4, 8}; АВ: {4, 8}.** **6. Задача:** Всего мячей: $6 + 5 = 11$. Количество способов выбрать 3 мяча: $C_{11}^3 = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 165$. 1) Все вынутые зеленые: Количество способов выбрать 3 зеленых из 5 имеющихся: $C_5^3 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10$. Вероятность $P = \frac{10}{165} = \frac{2}{33}$. 2) Хотя бы один зеленый: Проще найти вероятность противоположного события (все мячи синие) и вычесть из единицы. Количество способов выбрать 3 синих из 6: $C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$. Вероятность выбрать все синие: $\frac{20}{165} = \frac{4}{33}$. Вероятность события "хотя бы один зеленый": $1 - \frac{4}{33} = \frac{29}{33}$. **Ответ: 1) 2/33; 2) 29/33.**