а) Решите уравнение tg³x + tg²x - 3tgx - 3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения на интервале [2π; 7π/2]

**Ответ:** а) $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$; $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$. б) $\frac{7\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}; \frac{11\pi}{4}; \frac{10\pi}{3}$. **Решение:** а) Решим уравнение $\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 3 \text{tg} x - 3 = 0$ методом группировки: $(\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x) - (3 \text{tg} x + 3) = 0$ $\text{tg}^2 x (\text{tg} x + 1) - 3 (\text{tg} x + 1) = 0$ $(\text{tg} x + 1)(\text{tg}^2 x - 3) = 0$ 1. $\text{tg} x + 1 = 0 \Rightarrow \text{tg} x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ 2. $\text{tg}^2 x - 3 = 0 \Rightarrow \text{tg}^2 x = 3 \Rightarrow \text{tg} x = \pm \sqrt{3}$ $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$ б) Отберём корни на отрезке $[2\pi; \frac{7\pi}{2}]$: 1. Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$: - $k=1: x = \frac{3\pi}{4}$ (не входит) - $k=2: x = \frac{7\pi}{4}$ (не входит) - $k=3: x = \frac{11\pi}{4}$ (входит, так как $2\pi < 2,75\pi < 3,5\pi$) 2. Для $x = \frac{\pi}{3} + \pi k$: - $k=2: x = \frac{7\pi}{3}$ (входит, так как $2\pi < 2,33\pi < 3,5\pi$) - $k=3: x = \frac{10\pi}{3}$ (входит, так как $2\pi < 3,33\pi < 3,5\pi$) 3. Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: - $k=3: x = \frac{8\pi}{3}$ (входит, так как $2\pi < 2,66\pi < 3,5\pi$) - $k=4: x = \frac{11\pi}{3}$ (не входит, так как $3,66\pi > 3,5\pi$)