13. а) Решите уравнение tg²x + (1 + √3)tgx + √3 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [5π/2; 4π].

13. а) **Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$ и $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$** Решение: Пусть $\text{tg } x = t$. Получим квадратное уравнение: $$t^2 + (1 + \sqrt{3})t + \sqrt{3} = 0$$ По теореме Виета или через дискриминант: $$D = (1 + \sqrt{3})^2 - 4\sqrt{3} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 4\sqrt{3} = 4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2$$ $$t_1 = \frac{-(1 + \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1)}{2} = -1$$ $$t_2 = \frac{-(1 + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - 1)}{2} = -\sqrt{3}$$ Обратная замена: 1) $\text{tg } x = -1 \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$ 2) $\text{tg } x = -\sqrt{3} \implies x = -\frac{\pi}{3} + \pi k, \, k \in \mathbb{Z}$ б) **Ответ: $\frac{11\pi}{4}, \frac{8\pi}{3}, \frac{15\pi}{4}, \frac{11\pi}{3}$** Отбор корней на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$: - Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k$: При $k=3: x = \frac{11\pi}{4} \approx 2,75\pi$ (входит) При $k=4: x = \frac{15\pi}{4} = 3,75\pi$ (входит) - Для $x = -\frac{\pi}{3} + \pi k$: При $k=3: x = \frac{8\pi}{3} \approx 2,66\pi$ (входит) При $k=4: x = \frac{11\pi}{3} \approx 3,66\pi$ (входит)