а) Решите уравнение tg²x - 3tgx + 2 = 0. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π/2; 2π].

**Ответ:** а) $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; б) $\frac{5\pi}{4}; \text{arctg}(2) + \pi$. **Решение:** **а) Решим уравнение:** $\text{tg}^2x - 3\text{tg}x + 2 = 0$ Пусть $\text{tg}x = t$, тогда уравнение примет вид: $t^2 - 3t + 2 = 0$ По теореме Виета: $t_1 = 1$ $t_2 = 2$ Произведем обратную замену: 1. $\text{tg}x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ 2. $\text{tg}x = 2 \Rightarrow x = \text{arctg}(2) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ **б) Отберем корни на отрезке $[\frac{\pi}{2}; 2\pi]$:** 1. Для первой серии $x = \frac{\pi}{4} + \pi n$: - при $n=1: x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ (входит в отрезок) - при $n=2: x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{9\pi}{4}$ (больше $2\pi$) 2. Для второй серии $x = \text{arctg}(2) + \pi n$: Так как $1 < 2 < \sqrt{3}$, то $\frac{\pi}{4} < \text{arctg}(2) < \frac{\pi}{3}$. - при $n=0: x = \text{arctg}(2)$ (меньше $\frac{\pi}{2}$) - при $n=1: x = \text{arctg}(2) + \pi$ (входит в отрезок, так как это примерно $1,1 + 3,14 = 4,24$, а отрезок $[1,57; 6,28]$) - при $n=2: x = \text{arctg}(2) + 2\pi$ (больше $2\pi$)