Решите уравнение tg (8x + π) − sin 8x = 2 sin² 4x.

а) Решим уравнение $\text{tg}(8x + \pi) - \sin 8x = 2 \sin^2 4x$. Используем формулу приведения $\text{tg}(x + \pi) = \text{tg }x$: $$\text{tg }8x - \sin 8x = 2 \sin^2 4x$$ Применим формулу двойного угла $\sin 8x = 2 \sin 4x \cos 4x$ и формулу понижения степени $2 \sin^2 4x = 1 - \cos 8x$: $$\frac{\sin 8x}{\cos 8x} - \sin 8x = 1 - \cos 8x$$ Перенесем все в левую часть: $$\frac{\sin 8x}{\cos 8x} - \sin 8x - 1 + \cos 8x = 0$$ Приведем к общему знаменателю $\cos 8x$: $$\frac{\sin 8x - \sin 8x \cos 8x - \cos 8x + \cos^2 8x}{\cos 8x} = 0$$ Уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} \sin 8x - \sin 8x \cos 8x - \cos 8x + \cos^2 8x = 0 \\ \cos 8x \neq 0 \end{cases}$$ Рассмотрим числитель: $$\sin 8x (1 - \cos 8x) - \cos 8x (1 - \cos 8x) = 0$$ $$(1 - \cos 8x)(\sin 8x - \cos 8x) = 0$$ Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю: 1) $1 - \cos 8x = 0 \implies \cos 8x = 1$ $8x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$ $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$ 2) $\sin 8x - \cos 8x = 0$ Разделим на $\cos 8x$ (при условии, что $\cos 8x \neq 0$): $$\text{tg } 8x = 1$$ $$8x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$$ Теперь учтем условие $\cos 8x \neq 0$. Это значит $8x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$, или $x \neq \frac{\pi}{16} + \frac{\pi m}{8}, m \in \mathbb{Z}$. Корни $x = \frac{\pi n}{4}$ не совпадают с исключенными значениями, так как $\cos(8 \cdot \frac{\pi n}{4}) = \cos(2\pi n) = 1 \neq 0$. Корни $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8}$ также не совпадают с исключенными значениями, так как $\cos(8(\frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8})) = \cos(\frac{\pi}{4} + \pi k) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$. **Ответ:** $x = \frac{\pi n}{4}, n \in \mathbb{Z}$ и $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$ б) Укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку $\left[ -\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi}{8} \right]$. 1) Для $x = \frac{\pi n}{4}$: $$-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi n}{4} \le -\frac{\pi}{8}$$ Разделим на $\pi/4$: $$-1 \le n \le -\frac{1}{2}$$ Единственное целое значение $n = -1$. При $n = -1$, $x = \frac{\pi (-1)}{4} = -\frac{\pi}{4}$. 2) Для $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8}$: $$-\frac{\pi}{4} \le \frac{\pi}{32} + \frac{\pi k}{8} \le -\frac{\pi}{8}$$ Разделим на $\pi$: $$-\frac{1}{4} \le \frac{1}{32} + \frac{k}{8} \le -\frac{1}{8}$$ Вычтем $\frac{1}{32}$: $$-\frac{1}{4} - \frac{1}{32} \le \frac{k}{8} \le -\frac{1}{8} - \frac{1}{32}$$ $$-\frac{8}{32} - \frac{1}{32} \le \frac{k}{8} \le -\frac{4}{32} - \frac{1}{32}$$ $$-\frac{9}{32} \le \frac{k}{8} \le -\frac{5}{32}$$ Умножим на 8: $$-\frac{9}{4} \le k \le -\frac{5}{4}$$ $$-2.25 \le k \le -1.25$$ Единственное целое значение $k = -2$. При $k = -2$, $x = \frac{\pi}{32} + \frac{\pi (-2)}{8} = \frac{\pi}{32} - \frac{2\pi}{8} = \frac{\pi}{32} - \frac{8\pi}{32} = -\frac{7\pi}{32}$. Проверим, принадлежит ли $-7\pi/32$ отрезку $\left[ -\frac{\pi}{4}; -\frac{\pi}{8} \right]$: $-7\pi/32 = -0.21875\pi$ $-\pi/4 = -0.25\pi$ $-\pi/8 = -0.125\pi$ $-0.25\pi \le -0.21875\pi \le -0.125\pi$. Это верно. **Ответ:** $-\frac{\pi}{4}$, $-\frac{7\pi}{32}$