Контрольная работа № 4. Вариант I. 1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^2x является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^2x на всей числовой прямой.

### Контрольная работа № 4. Вариант I **1. Доказательство** Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (3x + \sin x - e^{2x})' = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' = 3 + \cos x - 2e^{2x}$ Так как $F'(x) = f(x)$ на всей числовой прямой, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. **2. Нахождение первообразной** 1) Найдем общий вид первообразной для $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = 2 \cdot \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$ 2) Найдем $C$, подставив координаты точки $A(0; \frac{7}{8})$: $\frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + C = \frac{7}{8} \Rightarrow C = \frac{7}{8}$ **Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$**. **3. Вычисление площади фигуры (Рис. 90)** Фигура ограничена графиком $y = x^2 - 2x + 2$, осями координат и прямыми $x=1$, $x=2$ (судя по заштрихованной области). $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right) \right|_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ **Ответ: $1\frac{1}{3}$**. **4. Площадь фигуры, ограниченной линиями** 1) Найдем точки пересечения $y = 1 - 2x$ и $y = x^2 - 5x - 3$: $x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x$ $x^2 - 3x - 4 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = -1, x_2 = 4$. 2) На интервале $[-1; 4]$ прямая $y = 1 - 2x$ находится выше параболы. $S = \int_{-1}^{4} (1 - 2x - (x^2 - 5x - 3)) dx = \int_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx = \left. \left( -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right) \right|_{-1}^{4}$ $S = (-\frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 16}{2} + 16) - (\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4) = (-\frac{64}{3} + 24 + 16) - (\frac{2+9-24}{6}) = (-\frac{64}{3} + 40) - (-\frac{13}{6}) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}$ **Ответ: $20\frac{5}{6}$**.