Вариант II. 1. Доказать, что функция F(x)=e^{3x}+cos x+x является первообразной функции f(x)=3e^{3x}-sin x+1 на всей числовой оси.

**Вариант II** 1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и проверить, совпадает ли она с $f(x)$. $F'(x) = (e^{3x} + \cos x + x)' = (e^{3x})' + (\cos x)' + (x)' = 3e^{3x} - \sin x + 1$ $F'(x) = f(x)$, что и требовалось доказать. 2. Найдём общую первообразную: $F(x) = \int (-3 \sqrt[3]{x}) dx = -3 \int x^{\frac{1}{3}} dx = -3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -\frac{9}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = -2,25 \sqrt[3]{x^4} + C$ Подставим координаты точки $A(0; \frac{3}{4})$: $\frac{3}{4} = -2,25 \cdot 0^4 + C \Rightarrow C = 0,75$ **Ответ: $F(x) = -2,25 \sqrt[3]{x^4} + 0,75$** 3. На рисунке 88 заштрихованная фигура ограничена сверху функцией $y = -x^2 + 6x - 5$ и линиями $x=2$ и $x=3$ (границы по оси $Ox$). $S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x) \right|_2^3$ $S = (-\frac{27}{3} + 3 \cdot 9 - 5 \cdot 3) - (-\frac{8}{3} + 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2) = (-9 + 27 - 15) - (-2,67 + 12 - 10) = 3 - (-0,67) = 3,67$ **Ответ: $3\frac{2}{3}$ кв. ед.** 4. Вычислим интегралы: 1) $\int_{1}^{3} (\frac{3}{x} + x^2) dx = \left. (3 \ln|x| + \frac{x^3}{3}) \right|_1^3 = (3 \ln 3 + \frac{27}{3}) - (3 \ln 1 + \frac{1}{3}) = 3 \ln 3 + 9 - 0 - \frac{1}{3} = 3 \ln 3 + 8\frac{2}{3}$ 2) Используем формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$: $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x) dx = \left. (\frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \sin 2x) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{4} \sin \pi) - (0 - 0) = \frac{\pi}{4}$ 5. Найдём точки пересечения: $x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0$ $x_1 = -6, x_2 = 1$. На интервале $[-6; 1]$ прямая выше параболы. $S = \int_{-6}^{1} ((3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} - 2,5x^2 + 6x) \right|_{-6}^1$ $S = (-\frac{1}{3} - 2,5 + 6) - (-\frac{-216}{3} - 2,5 \cdot 36 + 6 \cdot (-6)) = 3,17 - (72 - 90 - 36) = 3,17 - (-54) = 57,17$ **Ответ: $57\frac{1}{6}$ кв. ед.**