Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^(2x) является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^(2x) на всей числовой оси.

1. Чтобы доказать, что функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и показать, что она равна $f(x)$. Дана функция $F(x) = 3x + \sin x - e^{2x}$. Найдем производную $F'(x)$: $$F'(x) = \frac{d}{dx}(3x) + \frac{d}{dx}(\sin x) - \frac{d}{dx}(e^{2x})$$ $$F'(x) = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot 2$$ $$F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x}$$ Дана функция $f(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x}$. Так как $F'(x) = f(x)$, то функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на всей числовой оси. 2. Найти первообразную $F$ функции $f(x)=2\sqrt{x}$, график которой проходит через точку $A(0; \frac{7}{8})$. Перепишем функцию $f(x)$ как $f(x) = 2x^{\frac{1}{2}}$. Найдем общую первообразную $F(x)$: $$F(x) = \int 2x^{\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C$$ $$F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$$ $$F(x) = 2 \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$$ $$F(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$$ Теперь используем условие, что график проходит через точку $A(0; \frac{7}{8})$. Подставим значения $x=0$ и $F(x)=\frac{7}{8}$: $$\frac{7}{8} = \frac{4}{3} (0)^{\frac{3}{2}} + C$$ $$\frac{7}{8} = 0 + C$$ $$C = \frac{7}{8}$$ Следовательно, искомая первообразная: $$F(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{7}{8}$$ 3. Вычислить площадь фигуры F, изображенной на рисунке 87. Фигура F ограничена графиком функции $y=x^2-2x+2$, осью $x$ (хотя на рисунке видно, что фигура над осью $x$) и вертикальными прямыми $x=1$ и $x=2$. Площадь S можно найти как определенный интеграл от функции $y=x^2-2x+2$ в пределах от 1 до 2. $$S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx$$ Найдем первообразную: $$\int (x^2 - 2x + 2) dx = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + 2x = \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x$$ Теперь вычислим определенный интеграл: $$S = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_{1}^{2}$$ $$S = \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right)$$ $$S = \left( \frac{8}{3} - 4 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 2 \right)$$ $$S = \left( \frac{8}{3} \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right)$$ $$S = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} - 1$$ $$S = \frac{7}{3} - 1$$ $$S = \frac{7}{3} - \frac{3}{3}$$ $$S = \frac{4}{3}$$ **Ответ:** **1. $F'(x) = 3 + \cos x - 2e^{2x} = f(x)$, что доказывает, что $F(x)$ является первообразной $f(x)$.** **2. $F(x) = \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{7}{8}$** **3. $S = \frac{4}{3}$**