1. Доказать, что функция F(x) = e^3x + cos x + x является первообразной функции f(x) = 3e^3x - sin x + 1 на всей числовой прямой.

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и проверить, совпадает ли она с $f(x)$: $F'(x) = (e^{3x} + \cos x + x)' = (e^{3x})' + (\cos x)' + (x)' = 3e^{3x} - \sin x + 1$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. Найдём общую первообразную функции $f(x) = -3\sqrt[3]{x} = -3x^{\frac{1}{3}}$: $F(x) = -3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = -3 \cdot \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = -3 \cdot \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} + C = -\frac{9}{4}\sqrt[3]{x^4} + C$. Подставим координаты точки $A(0; \frac{3}{4})$ для поиска $C$: $\frac{3}{4} = -\frac{9}{4} \cdot 0^{\frac{4}{3}} + C \Rightarrow C = \frac{3}{4}$. **Ответ:** $F(x) = -\frac{9}{4}\sqrt[3]{x^4} + \frac{3}{4}$. 3. Площадь фигуры $F$ на рис. 91 — это интеграл функции $y = -x^2 + 6x - 5$ в пределах от $x=2$ до $x=3$: $S = \int_{2}^{3} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x) \right|_2^3 =$ $= (-\frac{27}{3} + 3 \cdot 9 - 5 \cdot 3) - (-\frac{8}{3} + 3 \cdot 4 - 5 \cdot 2) = (-9 + 27 - 15) - (-2\frac{2}{3} + 12 - 10) = 3 - (-\frac{2}{3}) = 3\frac{2}{3}$. **Ответ:** $3\frac{2}{3}$. 4. Найдём точки пересечения графиков $y = 3 - 2x$ и $y = x^2 + 3x - 3$: $x^2 + 3x - 3 = 3 - 2x \Rightarrow x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = -6, x_2 = 1$. На интервале $[-6; 1]$ прямая $y = 3 - 2x$ выше параболы, поэтому: $S = \int_{-6}^{1} (3 - 2x - (x^2 + 3x - 3)) dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx = \left. (-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x) \right|_{-6}^1 =$ $= (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6) - (-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5 \cdot 36}{2} + 6 \cdot (-6)) = (-\frac{1}{3} - 2.5 + 6) - (72 - 90 - 36) = 3\frac{1}{6} - (-54) = 57\frac{1}{6}$. **Ответ:** $57\frac{1}{6}$.