1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^(2x) является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^(2x) на всей числовой оси.

**Ответ: ниже представлены решения для всех заданий.** 1. **Доказательство:** Функция $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Найдем производную функции $F(x) = 3x + \sin x - e^{2x}$: $F'(x) = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot (2x)' = 3 + \cos x - 2e^{2x}$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой оси. 2. **Решение:** Найдем общую первообразную для $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$. Подставим координаты точки $A(0; \frac{7}{8})$ для нахождения $C$: $\frac{7}{8} = \frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + C \Rightarrow C = \frac{7}{8}$. **Ответ:** $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$. 3. **Решение:** Фигура ограничена графиком $y = x^2 - 2x + 2$, осями координат и прямыми $x=1$, $x=2$. $S = \int_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left. (\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x) \right|_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **Ответ:** $1\frac{1}{3}$. 4. **Решение:** 1) $\int_{1}^{2} (x + \frac{2}{x}) dx = \left. (\frac{x^2}{2} + 2\ln|x|) \right|_1^2 = (\frac{4}{2} + 2\ln 2) - (\frac{1}{2} + 2\ln 1) = 2 + 2\ln 2 - 0,5 = 1,5 + 2\ln 2$. 2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx = \left. \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}\sin 2x) \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 0) - 0 = \frac{\pi}{4}$. **Ответ:** 1) $1,5 + 2\ln 2$; 2) $\frac{\pi}{4}$.