Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^2x является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^2x на всей числовой оси.

**1. Доказательство:** Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если её производная равна этой функции: $F'(x) = f(x)$. Вычислим производную функции $F(x) = 3x + \sin x - e^{2x}$: $F'(x) = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot (2x)' = 3 + \cos x - 2e^{2x}$. Так как $F'(x) = f(x)$, то утверждение доказано. **2. Нахождение первообразной:** **Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$** Решение: Общий вид первообразной для $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$. Подставим координаты точки $A(0; \frac{7}{8})$: $\frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + C = \frac{7}{8} \Rightarrow C = \frac{7}{8}$. **3. Вычисление площади фигуры:** **Ответ: $1\frac{1}{3}$** Решение: Фигура ограничена графиком $y = x^2 - 2x + 2$ и прямыми $x=1, x=2, y=0$. $S = \int_1^2 (x^2 - 2x + 2) dx = (\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x) |_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$. **4. Вычисление интегралов:** 1) **Ответ: $1,5 + 2\ln 2$** $\int_1^2 (x + \frac{2}{x}) dx = (\frac{x^2}{2} + 2\ln|x|) |_1^2 = (\frac{4}{2} + 2\ln 2) - (\frac{1}{2} + 2\ln 1) = 2 + 2\ln 2 - 0,5 = 1,5 + 2\ln 2$. 2) **Ответ: $\frac{\pi}{4}$** Используем формулу $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2}\sin 2x) |_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} ((\frac{\pi}{2} + \frac{1}{2}\sin \pi) - (0 + \frac{1}{2}\sin 0)) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$. **5. Площадь фигуры:** **Ответ: $4,5$** Решение: 1. Найдем точки пересечения: $x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -1, x_2 = 4$. 2. На отрезке $[-1; 4]$ прямая $y = 1 - 2x$ выше параболы. 3. $S = \int_{-1}^4 ((1 - 2x) - (x^2 - 5x - 3)) dx = \int_{-1}^4 (-x^2 + 3x + 4) dx = (-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x) |_{-1}^4 =$ $= (-\frac{64}{3} + 24 + 16) - (\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4) = (-\frac{64}{3} + 40) - (\frac{11}{6} - 4) = \frac{56}{3} + \frac{13}{6} = \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6} \approx 20,83$. *Примечание: Перепроверим расчет. $(-\frac{64}{3} + 40) = \frac{56}{3}$. $(\frac{2+9-24}{6}) = -\frac{13}{6}$. $56/3 - (-13/6) = 112/6 + 13/6 = 125/6$.*