1. Найдите функцию y = f(x), первообразная которой равна F(x) на всей числовой прямой: F(x) = sin x - x³/3 + 10. 2. Для функции f(x) = 2 - 2x найдите первообразную F(x), график которой проходит через точку M(2;-1). 3. Вычислите интегралы. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x² + 1, y = 3 - x².

1. Чтобы найти функцию $f(x)$ по её первообразной $F(x)$, нужно найти производную: $f(x) = F'(x) = (\sin x - \frac{x^3}{3} + 10)' = \cos x - x^2$. **Ответ: $f(x) = \cos x - x^2$.** 2. Найдём общий вид первообразной: $F(x) = \int (2 - 2x) dx = 2x - x^2 + C$. Подставим координаты точки $M(2; -1)$: $-1 = 2(2) - 2^2 + C \Rightarrow -1 = 4 - 4 + C \Rightarrow C = -1$. **Ответ: $F(x) = 2x - x^2 - 1$.** 3. Вычислим интегралы по формуле Ньютона-Лейбница: а) $\int_1^2 (4x^3 - x + 5) dx = [x^4 - \frac{x^2}{2} + 5x]_1^2 = (16 - 2 + 10) - (1 - 0,5 + 5) = 24 - 5,5 = 18,5$; б) $\int_1^2 \frac{dx}{x^4} = \int_1^2 x^{-4} dx = [\frac{x^{-3}}{-3}]_1^2 = -\frac{1}{3} (\frac{1}{8} - 1) = -\frac{1}{3} \cdot (-\frac{7}{8}) = \frac{7}{24}$; в) $\int_1^3 3 dx = [3x]_1^3 = 9 - 3 = 6$; г) $\int_1^9 \frac{\sqrt{x}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_1^9 x^{1/2} dx = \frac{1}{2} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_1^9 = \frac{1}{3} (\sqrt{9^3} - \sqrt{1^3}) = \frac{1}{3} (27 - 1) = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$. 4. Найдём точки пересечения: $x^2 + 1 = 3 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1$. Исследование функций: $y = x^2 + 1$: парабола, ветви вверх, вершина $(0; 1)$. $y = 3 - x^2$: парабола, ветви вниз, вершина $(0; 3)$. Площадь: $S = \int_{-1}^1 ((3 - x^2) - (x^2 + 1)) dx = \int_{-1}^1 (2 - 2x^2) dx = [2x - \frac{2x^3}{3}]_{-1}^1 = (2 - \frac{2}{3}) - (-2 + \frac{2}{3}) = 1\frac{1}{3} - (-1\frac{1}{3}) = 2\frac{2}{3}$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ: $S = 2\frac{2}{3}$.**