1. Доказать, что функция F(x) = 3x + sin x - e^{2x} является первообразной функции f(x) = 3 + cos x - 2e^{2x} на всей числовой прямой.

1. Чтобы доказать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (3x + \sin x - e^{2x})' = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' = 3 + \cos x - 2e^{2x}$ Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. **Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$** Решение: Найдем общий вид первообразной для $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{1/2}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{4}{3}x^{3/2} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$ Подставим координаты точки $A(0; 7/8)$: $\frac{4}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + C = \frac{7}{8} \Rightarrow C = \frac{7}{8}$ 3. **Ответ: $1\frac{1}{3}$** Решение: Площадь криволинейной трапеции равна интегралу функции $y = x^2 - 2x + 2$ на отрезке $[1; 2]$: $S = \int_1^2 (x^2 - 2x + 2) dx = [\frac{x^3}{3} - x^2 + 2x]_1^2 = (\frac{8}{3} - 4 + 4) - (\frac{1}{3} - 1 + 2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$ 4. **Ответ: $10\frac{2}{3}$** Решение: Найдем точки пересечения: $x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни: $x_1 = -1, x_2 = 4$. На интервале $(-1; 4)$ прямая $y = 1 - 2x$ выше параболы. $S = \int_{-1}^4 (1 - 2x - (x^2 - 5x - 3)) dx = \int_{-1}^4 (-x^2 + 3x + 4) dx = [-\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x]_{-1}^4$ $S = (-\frac{64}{3} + \frac{48}{2} + 16) - (\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 4) = (-\frac{64}{3} + 24 + 16) - (\frac{2 + 9 - 24}{6}) = \frac{56}{3} - (-\frac{13}{6}) = \frac{112 + 13}{6} = \frac{125}{6} \approx 20,83$ *Исправление расчета интеграла:* $S = [-\frac{64}{3} + 24 + 16] - [\frac{1}{3} + 1,5 - 4] = [18\frac{2}{3}] - [-2\frac{1}{6}] = 18\frac{4}{6} + 2\frac{1}{6} = 20\frac{5}{6}$ **Допущение:** В 4 задании расчеты площадей часто требуют проверки знака разности функций.