Контрольная работа № 4. Вариант I. Доказать, что функция F(x) является первообразной; Найти первообразную; Вычислить площадь фигуры.

1. **Доказательство:** Функция $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, если $F'(x) = f(x)$. Найдем производную функции $F(x) = 3x + \sin x - e^{2x}$: $F'(x) = (3x)' + (\sin x)' - (e^{2x})' = 3 + \cos x - e^{2x} \cdot (2x)' = 3 + \cos x - 2e^{2x}$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. **Ответ: $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$** Общий вид первообразной для $f(x) = 2\sqrt{x} = 2x^{\frac{1}{2}}$: $F(x) = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = 2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + C$. Подставим координаты точки $A\left(0; \frac{7}{8}\right)$: $\frac{4}{3} \cdot 0\sqrt{0} + C = \frac{7}{8} \Rightarrow C = \frac{7}{8}$. Искомая первообразная: $F(x) = \frac{4}{3}x\sqrt{x} + \frac{7}{8}$. 3. **Ответ: $1\frac{1}{3}$** Площадь фигуры $F$ на рис. 90 — это определенный интеграл функции $y = x^2 - 2x + 2$ на отрезке $[1; 2]$: $S = \int\limits_{1}^{2} (x^2 - 2x + 2) dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 2x \right]_1^2 =$ $= \left( \frac{2^3}{3} - 2^2 + 2 \cdot 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} - 1^2 + 2 \cdot 1 \right) =$ $= \left( \frac{8}{3} - 4 + 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 + 2 \right) = \frac{8}{3} - 1\frac{1}{3} = 2\frac{2}{3} - 1\frac{1}{3} = 1\frac{1}{3}$. 4. **Ответ: $20\frac{5}{6}$** Найдем точки пересечения графиков $y = 1 - 2x$ и $y = x^2 - 5x - 3$: $x^2 - 5x - 3 = 1 - 2x \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. По теореме Виета: $x_1 = -1$, $x_2 = 4$. На интервале $(-1; 4)$ прямая выше параболы. Искомая площадь: $S = \int\limits_{-1}^{4} (1 - 2x - (x^2 - 5x - 3)) dx = \int\limits_{-1}^{4} (-x^2 + 3x + 4) dx =$ $= \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^4 =$ $= \left( -\frac{64}{3} + \frac{3 \cdot 16}{2} + 4 \cdot 4 \right) - \left( -\frac{(-1)}{3} + \frac{3 \cdot 1}{2} + 4 \cdot (-1) \right) =$ $= (-21\frac{1}{3} + 24 + 16) - (\frac{1}{3} + 1.5 - 4) = 18\frac{2}{3} - (-2\frac{1}{6}) = 18\frac{4}{6} + 2\frac{1}{6} = 20\frac{5}{6}$.