Контрольная работа №1 Первообразная и интеграл Вариант 2. Найдите общий вид первообразных для функции f(x)...

### Контрольная работа №1. Первообразная и интеграл. Вариант 2 **А1. Найдите общий вид первообразных для функции $f(x)$:** а) $f(x) = \frac{2}{7}$ — это константа. Первообразная: $F(x) = \frac{2}{7}x + C$. б) $f(x) = \cos 4x$. Используем формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C$. Ответ: $F(x) = \frac{1}{4} \sin 4x + C$. **А2. Найдите первообразную для функции $f(x) = 6x^2 + 1$, график которой проходит через точку $M(1; -4)$:** 1. Находим общий вид первообразной: $F(x) = \int (6x^2 + 1) dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} + x + C = 2x^3 + x + C$. 2. Подставляем координаты точки $M(1; -4)$, где $x=1, F(x)=-4$: $-4 = 2(1)^3 + 1 + C \Rightarrow -4 = 3 + C \Rightarrow C = -7$. Ответ: $F(x) = 2x^3 + x - 7$. **А3. Вычислите интеграл:** а) $\int_2^3 (x^2 + 2x + 3) dx = \left. \left( \frac{x^3}{3} + x^2 + 3x \right) \right|_2^3 = (\frac{27}{3} + 9 + 9) - (\frac{8}{3} + 4 + 6) = 27 - (2\frac{2}{3} + 10) = 27 - 12\frac{2}{3} = 14\frac{1}{3}$. б) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin x dx = \left. (-\cos x) \right|_0^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\frac{\pi}{4} - (-\cos 0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. **В1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -12x - 3x^2$ и $y = -6x$:** 1. Найдем точки пересечения: $-12x - 3x^2 = -6x \Rightarrow 3x^2 + 6x = 0 \Rightarrow 3x(x + 2) = 0$. Точки: $x_1 = -2, x_2 = 0$. 2. На интервале $[-2; 0]$ прямая $y = -6x$ выше параболы. $S = \int_{-2}^0 (-6x - (-12x - 3x^2)) dx = \int_{-2}^0 (3x^2 + 6x) dx = \left. (x^3 + 3x^2) \right|_{-2}^0 = 0 - (-8 + 12) = -4$ (берем по модулю) $= 4$. Ответ: 4. **В2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 - 1$ и $y = 1 - x$:** 1. Точки пересечения: $x^2 - 1 = 1 - x \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. По Т. Виета: $x_1 = -2, x_2 = 1$. 2. Прямая выше параболы на $[-2; 1]$. $S = \int_{-2}^1 (1 - x - (x^2 - 1)) dx = \int_{-2}^1 (2 - x - x^2) dx = \left. (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) \right|_{-2}^1 = (2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (-4 - \frac{4}{2} - (-\frac{8}{3})) = 1\frac{1}{6} - (-6 + 2\frac{2}{3}) = 1\frac{1}{6} + 3\frac{1}{3} = 4,5$. Ответ: 4,5. **С1. Постройте графики функций $y = x^3$, $y = \sqrt{x}$. Вычислите площадь фигуры:** :::div .chart-container @chart-1::: 1. Точки пересечения в первой четверти: $x^3 = \sqrt{x} \Rightarrow x^6 = x \Rightarrow x(x^5 - 1) = 0$. Точки: $x_1 = 0, x_2 = 1$. 2. Площадь: $S = \int_0^1 (\sqrt{x} - x^3) dx = \left. (\frac{2}{3}x^{3/2} - \frac{x^4}{4}) \right|_0^1 = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8-3}{12} = \frac{5}{12}$. Ответ: $\frac{5}{12}$. **С2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x, y = 0, x = -\frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{4}$:** $S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x dx = \left. \sin x \right|_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin\frac{\pi}{4} - \sin(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \sqrt{2}$. Ответ: $\sqrt{2}$.