Показать, что функция F(x) = e^{2x} + x^3 - cos x является первообразной для функции f(x) = 2e^{2x} + 3x^2 + sin x на всей числовой прямой.

1. **Доказательство:** Чтобы проверить, является ли $F(x)$ первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$. Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ является первообразной. 2. **Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$** Найдём общую первообразную: $F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx = x^3 + x^2 - 3x + C$. Подставим координаты точки $M(1; -2)$, чтобы найти $C$: $-2 = 1^3 + 1^2 - 3(1) + C$ $-2 = 1 + 1 - 3 + C$ $-2 = -1 + C \Rightarrow C = -1$. 3. **Вычисления:** 1) $\int_{1}^{2} 3x^3 dx = \left[ \frac{3x^4}{4} \right]_{1}^{2} = \frac{3 \cdot 2^4}{4} - \frac{3 \cdot 1^4}{4} = 12 - 0,75 = \mathbf{11,25}$ 2) $\int_{2}^{4} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{2}^{4} = -\frac{1}{4} - (-\frac{1}{2}) = -0,25 + 0,5 = \mathbf{0,25}$ 3) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(0) = 1 - 0 = \mathbf{1}$ 4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = -\frac{1}{2}(1 - (-1)) = -\frac{1}{2}(2) = \mathbf{-1}$ 4. **Площади фигур:** 1) Найдем корни $x^2 + x - 6 = 0$: $x_1 = -3, x_2 = 2$. Парабола ветвями вверх, на $[-3; 2]$ она ниже оси $Ox$. $S = | \int_{-3}^{2} (x^2 + x - 6) dx | = | [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x]_{-3}^{2} | = | (\frac{8}{3} + 2 - 12) - (-9 + 4,5 + 18) | = | -7\frac{1}{3} - 13,5 | = \mathbf{20\frac{5}{6}}$ 2) Найдем точки пересечения $x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $S = \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx = [9x - \frac{x^3}{3}]_{-3}^{3} = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = \mathbf{36}$