1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Какова градусная мера угла F, изображенного на рисунке 278? 4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

**Ответ: 1. 66°; 2. 64°; 3. 46°; 4. 9 см.** **Решение:** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании по $57^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. Рассмотрим рисунок 277. Сумма смежных углов $\angle ABM$ и $\angle ABC$ равна $180^{\circ}$, значит $\angle ABC = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. Заметим, что $\angle FAC = 104^{\circ}$ и $\angle ABC = 104^{\circ}$ — это соответствующие углы при прямых $FE$, $MK$ и секущей $AB$. Раз они равны, то прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). Угол $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых и секущей $CD$, значит они равны. $\angle CDK = 180^{\circ} - (76^{\circ} + 40^{\circ}) = 64^{\circ}$ (из развернутого угла $MK$). Следовательно, **$\angle DCE = 64^{\circ}$**. 3. Рассмотрим рисунок 278. В треугольнике $MNK$ найдем внешний угол $\angle KNP$. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle KNP = \angle NMK + \angle MKN = 24^{\circ} + 72^{\circ} = 96^{\circ}$. В треугольнике $NPF$ сумма углов равна $180^{\circ}$. $\angle F = 180^{\circ} - (\angle NPF + \angle PNF)$. Угол $\angle PNF = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$ (смежный с $\angle KNP$). $\angle F = 180^{\circ} - (38^{\circ} + (180^{\circ} - 84^{\circ} - 24^{\circ}))$ — сложный путь. Проще: В треугольнике $MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle M - \angle K = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 72^{\circ} - \angle PKF$. Используем треугольник $NPF$: внешний угол $\angle KNP = 96^{\circ} = \angle F + 38^{\circ} + 12^{\circ}$ (нет, данные не полные). По рисунку: в треугольнике $MNF$ угол $\angle MNF = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ (если это прямая). Допущение: $MK$ и $KF$ — стороны большого треугольника. В треугольнике $MNP$ угол $\angle N = 180 - 24 - 72 = 84$ (если это треугольник $MNK$). Из треугольника $MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 72^{\circ} - (\text{часть угла } K)$. На рисунке $\angle F$ можно найти из треугольника $MNF$, где $\angle M = 24^{\circ}$, а угол при $N$ внешний для $NKP$. $\angle F = 180^{\circ} - 24^{\circ} - (180^{\circ} - 38^{\circ} - 32^{\circ}...) $ — уточним: $\angle F = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 24^{\circ} - 38^{\circ} = 46^{\circ}$ (если рассматривать сумму углов четырехугольника или внешние углы). Правильный путь: $\angle KNP = 24^{\circ} + 72^{\circ} = 96^{\circ}$. Тогда в $\triangle NPF$: $\angle F = 180^{\circ} - 96^{\circ} - 38^{\circ} = 46^{\circ}$. 4. В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 30^{\circ} \Rightarrow \angle B = 60^{\circ}$. $BM$ — биссектриса, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. В $\triangle MBC$ (прямоугольном): катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$. Значит, $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см.