Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**1.** Ответ: $66^{\circ}$ Решение: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании составляют по $57^{\circ}$. 2. Сумма всех углов треугольника равна $180^{\circ}$. 3. Угол при вершине равен: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **2.** Ответ: $64^{\circ}$ Решение: 1. Рассмотрим прямые $FE$ и $MK$. Углы $\angle FAB = 104^{\circ}$ и $\angle MBA = 76^{\circ}$ являются односторонними. Проверим их сумму: $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Так как сумма односторонних углов равна $180^{\circ}$, прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). 2. При параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CK$, накрест лежащие углы равны. Значит, $\angle DCE = \angle CDK$ (или по рисунку $\angle DCK$). 3. Рассмотрим треугольник $CDK$. Сумма его углов $180^{\circ}$. По рисунку $\angle K = 180^{\circ} - (76^{\circ} + 40^{\circ} + \text{смежный}) $ — нет, проще: $\angle DCE$ и $\angle CDK$ — накрест лежащие при $FE \parallel MK$, значит $\angle DCE = 40^{\circ}$? Нет, на рисунке дугами отмечено, что $\angle CDK = 40^{\circ}$ и $\angle DCE$ искомый. **Допущение:** На рисунке 277 прямые $FE$ и $MK$ параллельны. Угол $\angle DCK = 40^{\circ}$. Углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CD$. Следовательно, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. *Поправка по чертежу:* Если $\angle CDK = 40^{\circ}$, то $\angle DCE = 40^{\circ}$. Если же нужно найти $\angle DCE$ через треугольник: в $\triangle BCD$ угол $\angle BCD = 180^{\circ} - 76^{\circ} - 40^{\circ} = 64^{\circ}$ (как накрест лежащий с $\angle DCE$ при других секущих). Верный путь: $\angle DCE = 180^{\circ} - 104^{\circ} - (\text{угол } ACB)$. По свойству параллельных прямых ($104+76=180$): $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **3.** Ответ: $46^{\circ}$ Решение: 1. Рассмотрим треугольник $MNK$. Угол $\angle KMN = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 84^{\circ}$. 2. В треугольнике, образованном пересечением отрезков внутри (пусть точка пересечения $O$), $\angle MOF = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 38^{\circ}) = 58^{\circ}$? Нет. 3. Рассмотрим большой треугольник $MKF$. Угол $\angle M = 24^{\circ} + (\text{часть})$. Из $\triangle MKP$: $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle KMP = 24^{\circ}$, тогда $\angle KPM = 180 - (72+24) = 84^{\circ}$. Из $\triangle MPF$: $\angle MPF = 180 - 84 = 96^{\circ}$. Угол $F = 180 - (\angle PMF + 96^{\circ})$. В треугольнике с углом $38^{\circ}$: этот угол внешний для какого-то треугольника или часть? Из рисунка 278: в $\triangle MKF$ сумма углов $\angle M + \angle K + \angle F = 180^{\circ}$. $\angle M = 24^{\circ} + \dots$. Пусть точка пересечения линий внутри — $O$. В $\triangle MOK$: $\angle MOK = 180 - (24 + 38) = 118^{\circ}$ (если $38$ это часть угла $M$). На рисунке $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle KMN = 24^{\circ}$, $\angle KPF = 38^{\circ}$? **Допущение:** На рис. 278 $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle NMK = 24^{\circ}$, $\angle MPK = 180 - 38 = 142^{\circ}$ (смежный). В $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + 38^{\circ}) = 46^{\circ}$.