1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: $66^{\circ}$** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $57^{\circ} \cdot 2 = 114^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$ — угол при вершине. 2. **Ответ: $104^{\circ}$** Рассмотрим рисунок 277: 1) Прямые $AE$ и $MK$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $AB$ равна $180^{\circ}$ ($104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$). 2) Угол $DCE$ и угол $CDK$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AE$, $MK$ и секущей $CD$. Значит, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. *Примечание: Если на рисунке дугами отмечено равенство углов $FAB$ и $DCE$, то ответ совпадает с углом $FAB = 104^{\circ}$ как соответственных.* 3. **Ответ: $46^{\circ}$** Рассмотрим рисунок 278: 1) В $\triangle KNP$: $\angle KNP = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$. 2) $\angle MNF$ и $\angle KNP$ — вертикальные, значит $\angle MNF = 70^{\circ}$. 3) В $\triangle MNF$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle M + \angle MNF) = 180^{\circ} - (24^{\circ} + 70^{\circ}) = 180^{\circ} - 94^{\circ} = 86^{\circ}$. 4. **Ответ: $9$ см** 1) В $\triangle ABC$ (прямоугольном): катет $BC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $BC = \frac{1}{2} AB$. Также $\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $BM$ — биссектриса, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle MBC$: $MC = BM \cdot \sin 30^{\circ} = 6 \cdot 0,5 = 3$ см. 4) В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** 1) По условию $BC \parallel AD$, значит $\angle BCE = \angle DAF$ (накрест лежащие при секущей $AC$). 2) $AE = CF$ (так как $AF = CE$ по условию $BF=DE$ и равенству треугольников, или из равенства отрезков на прямой). 3) Из $\angle AED = \angle CFB$ следует равенство смежных с ними углов: $\angle CED = \angle AFB$. 4) $\triangle BCE = \triangle DAF$ (по стороне и двум прилежащим углам). 5) Из равенства треугольников следует $AB = CD$ и $\angle BAC = \angle ACD$. Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$.