1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**Ответ: 1) 66°; 2) 40°; 3) 14°.** **Решение:** 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один угол при основании $57^{\circ}$, то и второй тоже $57^{\circ}$. Сумма всех углов в треугольнике всегда равна $180^{\circ}$. Угол при вершине $= 180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. Рассмотрим прямые $FE$ и $MK$. Угол $\angle FAB = 104^{\circ}$ и угол $\angle ABM = 76^{\circ}$ являются односторонними. Проверим их сумму: $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Значит, прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). Углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CK$. Следовательно, они равны. **Ответ:** $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. 3. В треугольнике $MKP$ найдем угол $\angle MPK$: $\angle MPK = 180^{\circ} - (\angle K + \angle KMP) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. Угол $\angle NPF$ вертикальный углу $\angle MPK$, значит $\angle NPF = 84^{\circ}$. Теперь рассмотрим треугольник $NPF$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle NPF + \angle PNF) = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 82^{\circ})$. *Стоп, проверим данные.* **Допущение:** На рисунке 278 угол при вершине $N$ в треугольнике $NPF$ (смежный с $\angle MNP$) не указан явно, но по свойству внешнего угла треугольника для $\triangle MNF$: внешний угол при вершине $P$ треугольника $MPF$ равен сумме углов $M$ и $F$. Давайте проще: рассмотрим треугольник $MKF$. Угол $\angle K = 72^{\circ}$. В треугольнике $MNP$ угол $N$ равен $180 - (24 + 38) = 118^{\circ}$. В треугольнике $MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle KMF - \angle ...$ Посмотрим на треугольник $MNP$: $\angle MPN = 180^{\circ} - (24^{\circ} + 38^{\circ} + \text{часть угла } N)$. Рисунок показывает $\angle KNP = 38^{\circ}$ как внешний для $\triangle MN P$ или часть? Скорее всего, $\angle KNM$ — это развернутый угол или $N$ лежит на прямой. **Корректный путь для рис. 278:** В $\triangle MKP$: $\angle KPM = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 84^{\circ}$. В $\triangle NPF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle PNF - \angle NPF$. Если $K, N, M$ лежат на одной прямой, то $\angle PNF = 180^{\circ} - 38^{\circ} = 142^{\circ}$ (невозможно для треугольника). Вероятно, $\angle KNF = 180^{\circ}$. Тогда в $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 62^{\circ} = 46^{\circ}$. **Перепроверка по внешнему углу:** В $\triangle MNF$ угол $\angle KNF$ является внешним? Нет. Посмотрим на треугольник $MNF$. $\angle F = 180^{\circ} - \angle M - \angle MNF$. Если $38^{\circ}$ — это угол $\angle PNF$, а $\angle MPK = 84^{\circ}$ (вертикальный $\angle NPF$), то: $\angle F = 180^{\circ} - 84^{\circ} - 82^{\circ} = 14^{\circ}$ (если $\angle PNF$ смежный с $98^{\circ}$). Самый логичный вариант для школьной задачи: $\angle KNP$ — внешний для $\triangle NMF$. Тогда $\angle KNP = \angle M + \angle F$. $38^{\circ} = 24^{\circ} + \angle F$ $\angle F = 38^{\circ} - 24^{\circ} = 14^{\circ}$.