1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278? 4. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) Углы при основании: $57^{\circ}$ и $57^{\circ}$. 2) Угол при вершине: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. На рисунке 277 прямые $FE$ и $MK$ пересечены секущими. 1) Рассмотрим углы при секущей $AB$: внутренние односторонние углы равны $104^{\circ}$ и $76^{\circ}$. Их сумма $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. Это значит, что прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). 2) Так как $FE \parallel MK$, то накрест лежащие углы при секущей $CD$ равны. Угол $DCE$ и угол $CDK$ являются накрест лежащими. 3) Следовательно, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. На рисунке 278 рассмотрим треугольник $MKP$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. 1) Найдем $\angle MPK$: $\angle MPK = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. 2) Углы $\angle MPK$ и $\angle FPN$ — вертикальные, значит $\angle FPN = 84^{\circ}$. 3) Рассмотрим треугольник $NPF$. Сумма его углов: $\angle F + \angle FPN + \angle PNF = 180^{\circ}$. 4) $\angle F = 180^{\circ} - (84^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ}$. **Ответ: $58^{\circ}$**. 4. Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ}$, $BM$ — биссектриса, $BM = 6$ см. Найти $AC$. 1) В прямоугольном $\triangle ABC$ сумма острых углов $90^{\circ}$, значит $\angle B = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) Так как $BM$ — биссектриса, то $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle ABM$ углы $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Значит, $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 4) В прямоугольном $\triangle MBC$ против угла в $30^{\circ}$ ($\angle MBC$) лежит катет $MC$, равный половине гипотенузы $BM$: $MC = 6 : 2 = 3$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**.