13. (1 балл) Промежутки возрастания и убывания функции.

Давай решим задания из твоего листа. Будем идти по порядку. ### Задания 13–14 (по графику функции $g(x)$) **13. Промежутки возрастания и убывания:** По графику видно, что функция $g(x)$ возрастает на интервале $x \in [0; 4]$ и убывает на интервалах $x \in [-2; 0]$ и $x \in [4; 6]$. **14. При каких значениях $x$ $f(x) \le 0$:** Предположим, на графике изображена $f(x)$ (в условии написано $y=g(x)$, но вопрос про $f(x)$). График функции находится ниже или на оси $OX$ (значение $\le 0$) при $x \in [-2; 2]$ и $x \in [6; 6]$ (или точнее при $x=6$). Ответ: $x \in [-2; 2] \cup \{6\}$. ### Задания 15–18 **15. Вычислите интеграл $\int(11 + 2x) dx$:** $\int(11 + 2x) dx = 11x + x^2 + C$. **16. Решите уравнение $5^{x^2} = 25$:** $5^{x^2} = 5^2$ $x^2 = 2$ $x = \pm\sqrt{2}$. **17. Найдите производную функции $f(x) = 2x^6 - 9\sin x - 8$:** $f'(x) = 2 \cdot 6x^5 - 9\cos x - 0 = 12x^5 - 9\cos x$. **18. Решите уравнение $2\operatorname{tg} x = 2$:** $\operatorname{tg} x = 1$ $x = \frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$. ### Задания 19–22 **19. Решите уравнение $2\sin^2 x + 3\cos x = 0$:** $2(1 - \cos^2 x) + 3\cos x = 0$ $2 - 2\cos^2 x + 3\cos x = 0$ $2\cos^2 x - 3\cos x - 2 = 0$ Пусть $t = \cos x, |t| \le 1$. $2t^2 - 3t - 2 = 0$. Дискриминант $D = 9 - 4(2)(-2) = 25$. $t_1 = \frac{3+5}{4} = 2$ (не подходит, $|t| > 1$) $t_2 = \frac{3-5}{4} = -0.5$ $\cos x = -0.5 \Rightarrow x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. **20. Объем цилиндра:** Объем $V = \pi R^2 H$. Пусть $V_1 = \pi R^2 H = 12$. $V_2 = \pi (R/2)^2 (3H) = \pi (R^2/4) (3H) = \frac{3}{4} (\pi R^2 H) = \frac{3}{4} V_1 = \frac{3}{4} \cdot 12 = 9 \text{ м}^3$. Ответ: 9. **21. Система уравнений:** $\begin{cases} x + 2y = 16 \\ \log_8 y + \log_8 4 = \log_8 (x+3) \end{cases}$ ОДЗ: $y > 0, x > -3$. $\log_8 (4y) = \log_8 (x+3) \Rightarrow 4y = x+3 \Rightarrow x = 4y - 3$. Подставим в первое: $(4y-3) + 2y = 16 \Rightarrow 6y = 19 \Rightarrow y = 19/6$. $x = 4(19/6) - 3 = 38/3 - 9/3 = 29/3$. Ответ: $(29/3; 19/6)$. **22. Уравнение $\sqrt{4-2x} = x-2$:** ОДЗ: $4-2x \ge 0 \Rightarrow x \le 2$. И $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$. Значит, $x=2$. Проверка: $\sqrt{4-4} = 2-2 \Rightarrow 0=0$. Верно. Ответ: 2.