Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). Какова градусная мера угла F, изображенного на рисунке 278?

1. **Задача про равнобедренный треугольник** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 1) Углы при основании: $57^{\circ}$ и $57^{\circ}$. 2) Угол при вершине: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. **Задача по рис. 277** Найдем угол $DCE$: 1) Прямые $FE$ и $MK$ пересекаются секущей $CK$. Угол $MCK = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$ (смежные) или равен $76^{\circ}$ как на рисунке. Однако на рисунке даны углы при прямых $FE$ и $MK$. Заметим, что накрест лежащие углы при секущей $AB$ равны ($104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$ односторонние), значит $FE \parallel MK$. 2) При параллельных прямых $FE$ и $MK$ и секущей $CD$ накрест лежащие углы равны: $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. **Задача по рис. 278** В $\triangle MKF$: $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle M = 24^{\circ}$. Сумма углов треугольника: $\angle F = 180^{\circ} - (\angle K + \angle M) = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. **Ответ: $84^{\circ}$**. 4. **Задача про треугольник ABC** 1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}, \angle A = 30^{\circ}$): $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $BM$ — биссектриса $\angle B$, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит треугольник равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 4) В $\triangle MBC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 5. **Задача про угол AED** 1) На рисунке прямые $AE$ и $DF$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $AD$ равна $180^{\circ}$ ($78^{\circ} + 102^{\circ} = 180^{\circ}$). 2) $DE$ — биссектриса $\angle ADF$, значит $\angle ADE = 48^{\circ} / 2 = 24^{\circ}$. 3) При $AE \parallel DF$ углы $\angle AED$ и $\angle EDF$ — накрест лежащие. Значит $\angle AED = \angle EDF = 24^{\circ}$. **Ответ: $24^{\circ}$**. 6. **Параллельные прямые** 1) Прямые $m$ и $n$: односторонние углы $115^{\circ}$ и $65^{\circ}$. Сумма $115^{\circ} + 65^{\circ} = 180^{\circ}$, значит $m \parallel n$. 2) Прямые $k$ и $t$: соответственные углы $110^{\circ}$ и $70^{\circ}$. Сумма смежного с $70^{\circ}$ угла и $110^{\circ}$ должна быть $180^{\circ}$ для параллельности. Угол, смежный с $70^{\circ}$, равен $110^{\circ}$. Так как соответственные углы равны ($110^{\circ} = 110^{\circ}$), то $k \parallel t$. **Ответ: $m \parallel n, k \parallel t$**.