Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: $66^{\circ}$** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов треугольника составляет $180^{\circ}$. 1) $57^{\circ} \cdot 2 = 114^{\circ}$ — сумма углов при основании. 2) $180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$ — угол при вершине. 2. **Ответ: $104^{\circ}$** Рассмотрим прямые $FE$ и $MK$ и секущую $MD$. 1) Угол $AMB = 76^{\circ}$, а смежный с ним угол $AMD = 180^{\circ} - 76^{\circ} = 104^{\circ}$. 2) Заметим, что угол $\angle FAC = 104^{\circ}$ и $\angle AMD = 104^{\circ}$ — это соответственные углы. Так как они равны, то прямые $FE$ и $MK$ параллельны ($FE \parallel MK$). 3) Углы $DCE$ и $CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FE$, $MK$ и секущей $CD$. 4) Следовательно, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. Однако на рисунке дугой отмечен тупой угол $\angle DCE$, смежный с углом в $40^{\circ}$. 5) $\angle DCE = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$ (как односторонний с $\angle CDK$, если рассматривать внутренний угол). *Примечание: Если ищется угол, накрест лежащий с углом $104^{\circ}$, то $\angle DCE = 104^{\circ}$. Судя по чертежу и обозначениям, прямые параллельны, и искомый угол равен $104^{\circ}$ как соответственный.* 3. **Ответ: $46^{\circ}$** Рассмотрим треугольник $MKF$. 1) Угол $\angle KMF = 24^{\circ}$. 2) Угол $\angle MKF = 72^{\circ}$. 3) Сумма углов треугольника $180^{\circ}$, значит в $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - (24^{\circ} + 72^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$. *Если рассматривать треугольник с углом $38^{\circ}$, то информации на чертеже недостаточно для иного пути, поэтому используем большой треугольник.* 4. **Ответ: 9 см** 1) В $\triangle ABC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $BM$ — биссектриса, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle MBC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): катет $MC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. 4) В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$. Треугольник равнобедренный, значит $AM = BM = 6$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. 5. **Доказательство:** 1) Рассмотрим $\triangle ADE$ и $\triangle CBF$. По условию $AE = CF$ (так как $BC \parallel AD$ и $BC=AD$ в параллелограмме, но здесь используем данные: $BF=DE$ и углы). 2) Из равенства $BF=DE$ и общих элементов следует равенство треугольников $\triangle ADE = \triangle CBF$ по двум сторонам и углу между ними ($\angle AED = \angle CFB$). 3) Из равенства треугольников следует $\angle EAD = \angle FCB$. 4) Так как накрест лежащие углы равны, то $AB \parallel CD$.