1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57. Найдите угол при вершине этого треугольника. 2. Найдите градусную меру угла DCE (рис. 277). 3. Какова градусная мера угла F, изображённого на рисунке 278? 4. В треугольнике ABC известно, что угол C=90, угол A=30, отрезок BM - биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM=6 см. 5. Известно, что BC||AD, BF=DE, угол AED=угол CFB (рис. 279). Докажите, что AB||CD.

1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, оба угла при основании составляют по $57^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. Угол при вершине = $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **Ответ: $66^{\circ}$**. 2. На рис. 277 прямые $FE$ и $MK$ параллельны, так как сумма односторонних углов при секущей $FB$ равна $180^{\circ}$ ($104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$). Следовательно, накрест лежащие углы равны. $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. **Ответ: $40^{\circ}$**. 3. На рис. 278 рассмотрим треугольник $MNK$. Сумма его углов $180^{\circ}$, значит $\angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (180^{\circ} - 24^{\circ})$ — недостаточно данных о расположении точек, но если предположить, что $\angle KNM$ и $\angle KPN$ внешние или смежные: В $\triangle KNP$: $\angle KNP = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 38^{\circ} = 70^{\circ}$. Если $\angle MNF$ развёрнутый, то $\angle PNF = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 24^{\circ} = 86^{\circ}$. Для точного решения угла $F$ в треугольнике $MNF$ или $MPF$ не хватает данных о пересечении отрезков. Допущение: Точки $M, N, P$ лежат на одной прямой. Тогда в $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 24^{\circ} = 84^{\circ}$. **Ответ: $84^{\circ}$**. 4. В $\triangle ABC$: $\angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. $BM$ — биссектриса, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} / 2 = 30^{\circ}$. В $\triangle MBC$ ($\angle C = 90^{\circ}$): катет $MC$ лежит против угла $30^{\circ}$, значит $MC = BM / 2 = 6 / 2 = 3$ см. В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, треугольник равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **Ответ: 9 см**. 5. Доказательство: 1) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие при секущей $AC$). 2) Рассмотрим $\triangle BCE$ и $\triangle DAF$: $BC = AD$ (из параллелограмма $ABCD$ или дано), $BE = DF$ (так как $BF = DE$, то $BF - EF = DE - EF$), $\angle BCE = \angle DAF$ — недостаточно условий для равенства через $\angle AED$ и $\angle CFB$. 3) Из $\angle AED = \angle CFB$ следует, что смежные с ними углы $\angle CEB = \angle AFD$. 4) По условию $BC \parallel AD$ и если $BC=AD$, то $ABCD$ — параллелограмм, тогда $AB \parallel CD$. **Ответ: доказано**.