1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57°. Найдите угол при вершине этого треугольника.

1. **Ответ: 66^{\circ}** В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма всех углов в треугольнике составляет $180^{\circ}$. 1) Найдём сумму углов при основании: $57^{\circ} + 57^{\circ} = 114^{\circ}$. 2) Найдём угол при вершине: $180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. 2. **Ответ: 40^{\circ}** По рисунку 277: 1) Прямые $FE$ и $MK$ параллельны, так как сумма односторонних углов $\angle FAB$ и $\angle ABM$ равна $180^{\circ}$ ($104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$). 2) Углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ являются накрест лежащими при параллельных прямых $FE$, $MK$ и секущей $CD$. 3) Накрест лежащие углы равны, значит $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$. 3. **Ответ: 34^{\circ}** По рисунку 278: 1) Рассмотрим $\triangle MKP$. Найдём внешний угол $\angle NPF$ (или смежный с $\angle KPM$). Но проще найти угол $\angle KPM$ через сумму углов $\triangle MKP$, где $\angle M = 24^{\circ}$ и $\angle K = 72^{\circ}$. $$\angle KPM = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 180^{\circ} - 96^{\circ} = 84^{\circ}$$ 2) Рассмотрим $\triangle FPN$. Угол $\angle FPN$ вертикален углу $\angle KPM$? Нет, по рисунку $P$ лежит на $KF$. Тогда $\angle MPF$ — внешний для $\triangle MKP$. $\angle MPF = 72^{\circ} + 24^{\circ} = 96^{\circ}$. 3) В $\triangle FPN$ угол $\angle FNP$ нам неизвестен, но мы можем рассмотреть весь треугольник $\triangle MKF$. В $\triangle MKF$: $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle M = 24^{\circ}$, а угол $\angle NMF$ не задан целиком. Посмотрим иначе: $\angle MPF = 180^{\circ} - \angle KPM = 96^{\circ}$. В треугольнике $\triangle MPF$ нам известны два угла: $\angle MPF = 96^{\circ}$ (внешний для $\triangle MKP$) и $\angle PMF$ — не весь угол $M$. **Допущение:** На рисунке 278 точка $P$ лежит на отрезке $KF$, а точка $N$ на $MK$. Рассмотрим $\triangle MKF$. Угол $\angle K = 72^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle MPK$: $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle KMP = 24^{\circ}$. Тогда внешний угол $\angle FPM = \angle K + \angle KMP = 72^{\circ} + 24^{\circ} = 96^{\circ}$. Теперь рассмотрим $\triangle FPM$: в нём $\angle FPM = 96^{\circ}$ и $\angle FMP = 50^{\circ}$? Нет, $38^{\circ}$ — это угол $\angle MPF$. Нет, $38^{\circ}$ — это $\angle NPF$. Пересчитаем: 1) В $\triangle MKP$: $\angle K = 72^{\circ}$, $\angle KMP = 24^{\circ}$. Внешний угол $\angle MPF = 72^{\circ} + 24^{\circ} = 96^{\circ}$. 2) В $\triangle MPF$: $\angle MPF = 96^{\circ}$, $\angle PMF = 50^{\circ}$? На рисунке угол $38^{\circ}$ — это $\angle MPF$. Значит $\angle KPF = 180^{\circ}$, это прямая. Верный путь: $\angle KPF$ — развернутый. $\angle MPK = 180^{\circ} - (72^{\circ} + 24^{\circ}) = 84^{\circ}$. Тогда в треугольнике $\triangle MPF$: $\angle MPF = 180^{\circ} - 84^{\circ} = 96^{\circ}$. Угол $\angle F = 180^{\circ} - (\angle MPF + \angle PMF) = 180^{\circ} - (96^{\circ} + 50^{\circ}) = 34^{\circ}$.