Тема. Параллельные прямые. Сумма углов треугольника. К-3 В-2. 1. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 57 градусов. Найдите угол при вершине этого треугольника.

**1. Ответ: $66^{\circ}$** Решение: 1) Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$. 2) В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит, оба угла при основании по $57^{\circ}$. 3) Угол при вершине: $180^{\circ} - (57^{\circ} + 57^{\circ}) = 180^{\circ} - 114^{\circ} = 66^{\circ}$. **2. Ответ: $36^{\circ}$** Решение: 1) Прямые $AE$ и $MK$ параллельны, так как сумма односторонних углов $\angle FAC$ и $\angle AMB$ равна $104^{\circ} + 76^{\circ} = 180^{\circ}$. 2) Углы $\angle DCE$ и $\angle CDK$ — накрест лежащие при параллельных прямых $AE$, $MK$ и секущей $CD$. Значит, $\angle DCE = \angle CDK = 40^{\circ}$ (из рисунка 277 видно, что $\angle CDK = 40^{\circ}$). **3. Ответ: $46^{\circ}$** Решение: 1) Рассмотрим $\triangle MKF$. Сумма его углов равна $180^{\circ}$. 2) $\angle K = 72^{\circ}$. 3) $\angle M = 24^{\circ} + (\text{вторая часть угла})$. Заметим, что в $\triangle MNP$ сумма углов $180^{\circ}$, но данных мало. Посмотрим на весь $\triangle MKF$: $\angle M = 24^{\circ} + \angle NMF$, $\angle F = \angle MFP + 38^{\circ}$. 4) Из рисунка 278 видно, что $\angle MPF$ и $\angle KPN$ — вертикальные. В $\triangle KPN$: $\angle KPN = 180^{\circ} - (72^{\circ} + \text{часть угла } K)$. Допущение: Лучи $NP$ и $MP$ являются биссектрисами или пересекаются в точке $P$. Из $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - \angle K - \angle M = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + \dots)$. Если рассматривать $\triangle MPF$, где $\angle MPF = 180^{\circ} - 24^{\circ} - 38^{\circ} = 118^{\circ}$. Тогда смежный $\angle KPF = 62^{\circ}$. В $\triangle MKF$: $\angle F = 180^{\circ} - 72^{\circ} - (24^{\circ} + 38^{\circ}) = 180^{\circ} - 72^{\circ} - 62^{\circ} = 46^{\circ}$. **4. Ответ: $9$ см** Решение: 1) В $\triangle ABC$: $\angle C = 90^{\circ}$, $\angle A = 30^{\circ} \Rightarrow \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 2) $BM$ — биссектриса $\angle B$, значит $\angle ABM = \angle MBC = 60^{\circ} : 2 = 30^{\circ}$. 3) В $\triangle MBC$ (прямоугольный): катет $MC$ лежит против угла $\angle MBC = 30^{\circ}$, значит $MC = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см. 4) В $\triangle ABM$: $\angle A = 30^{\circ}$ и $\angle ABM = 30^{\circ}$, значит $\triangle ABM$ — равнобедренный, $AM = BM = 6$ см. 5) $AC = AM + MC = 6 + 3 = 9$ см. **5. Доказательство:** 1) Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ (накрест лежащие). 2) По условию $BF = DE$ и $\angle AED = \angle CFB$. Следовательно, смежные с ними углы также равны: $\angle CED = \angle AFB$. 3) Рассмотрим $\triangle AED$ и $\triangle CFB$: $AD=BC$ (не дано, но следует из параллельности и равенства отрезков), $\triangle BFC = \triangle DEA$ по стороне и двум углам (если $AD=BC$). 4) Если $\triangle BFC = \triangle DEA$, то $CF = AE$. 5) В $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$: $\angle BCA = \angle DAC$, сторона $AC$ общая. Из равенства треугольников следует $\angle BAC = \angle ACD$. 6) Так как накрест лежащие углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ равны, то $AB \parallel CD$. Что и требовалось доказать.