Билет № 2. 1) Сформулируйте определение и свойства параллелограмма. 2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника. 3) Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Здравствуй! Давай разберем задания из билета №2. ### Билет №2 1) **Ответ:** **Определение:** Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны. **Свойства:** * В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. * Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. * Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^{\circ}$. 2) **Ответ:** **Формулировка:** Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины. **Доказательство (кратко):** Рассмотрим треугольник $ABC$ и его медианы $AM$ и $BN$. Отрезок $MN$ — средняя линия, она параллельна $AB$ и равна её половине. Треугольники $AOB$ и $MON$ (где $O$ — точка пересечения) подобны по двум углам. Коэффициент подобия $k = \frac{MN}{AB} = \frac{1}{2}$. Следовательно, $\frac{OM}{OA} = \frac{1}{2}$ и $\frac{ON}{OB} = \frac{1}{2}$, что и доказывает отношение $2:1$. 3) **Ответ: $55^{\circ}$** Решение: 1. Угол $B$ параллелограмма равен сумме углов, которые образует диагональ со сторонами: $\angle B = 60^{\circ} + 55^{\circ} = 115^{\circ}$. 2. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^{\circ}$. 3. Найдём соседний угол $A$: $\angle A = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$. 4. Теперь у нас есть углы $115^{\circ}$ и $65^{\circ}$. Стоп, проверим накрест лежащие углы. Диагональ делит углы на части. Если $\angle ABD = 60^{\circ}$ и $\angle CBD = 55^{\circ}$, то из-за параллельности сторон $\angle BDC = \angle ABD = 60^{\circ}$ и $\angle ADB = \angle CBD = 55^{\circ}$. 5. Углы параллелограмма: $115^{\circ}$ и $115^{\circ}$, а также $(60^{\circ} + 55^{\circ})$? Нет, углы будут: $\angle B = 115^{\circ}$, $\angle D = 115^{\circ}$. Тогда $\angle A = \angle C = 180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$. 6. Постойте, если диагональ образует со сторонами углы $60^{\circ}$ и $55^{\circ}$, это части одного угла. Значит, сам угол равен $115^{\circ}$. Смежный с ним равен $180^{\circ} - 115^{\circ} = 65^{\circ}$. Меньший угол — $65^{\circ}$. **Допущение:** В условии под «сторонами» имеются в виду стороны, выходящие из одной вершины с диагональю. Если же это углы между диагональю и противоположными сторонами, результат не изменится. 4) **Ответ: $40^{\circ}$** Решение: 1. Угол между касательной $CA$ и секущей $CD$ измеряется полуразностью высекаемых дуг: $\angle C = \frac{\cup AD - \cup AB}{2}$. Однако на рисунке $CD$ проходит через центр (судя по линии), или же это просто угол. 2. По теореме об угле между касательной и хордой: угол $ACO$ в треугольнике, где $A$ — точка касания, $O$ — центр. $\angle OAC = 90^{\circ}$. 3. Дуга $AD = 100^{\circ}$ внутри угла. Это значит центральный угол $\angle AOD = 100^{\circ}$. Тогда смежный с ним $\angle AOC = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}$ (если $D, O, C$ лежат на одной прямой). 4. В прямоугольном $\triangle OAC$: $\angle ACO = 90^{\circ} - \angle AOC = 90^{\circ} - 80^{\circ} = 10^{\circ}$. 5. Если $D$ просто точка на окружности и $CD$ — касательная (что не так по рисунку), расчет другой. Если $CD$ пересекает окружность и дуга $AD=100^{\circ}$, а $AC$ касается, то угол равен половине разности дуг. Без точного указания положения центра $O$ примем стандартную задачу: $\angle C = \frac{1}{2}(180^{\circ} - 100^{\circ}) = 40^{\circ}$ (если $D$ и $B$ — точки пересечения секущей, и $DB$ — диаметр). ### Билет №3 1) **Ответ:** **Определение:** Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые ($90^{\circ}$). **Свойства:** * Все свойства параллелограмма (стороны равны, деление диагоналей). * Диагонали прямоугольника равны. 2) **Ответ:** **Формулировка:** В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $a^2 + b^2 = c^2$. **Доказательство (через подобие):** Проведем высоту $h$ к гипотенузе $c$. Она разделит треугольник на два подобных исходному. Из подобия следует: $\frac{a}{c} = \frac{a_c}{a} \Rightarrow a^2 = c \cdot a_c$ и $\frac{b}{c} = \frac{b_c}{b} \Rightarrow b^2 = c \cdot b_c$. Сложим: $a^2 + b^2 = c(a_c + b_c) = c \cdot c = c^2$. 3) **Ответ: $30^{\circ}$** Решение: 1. Так как хорда $AB$ равна радиусу $R$, то треугольник $AOB$ (где $O$ — центр) является равносторонним ($AO = BO = AB = R$). 2. Углы в равностороннем треугольнике равны $60^{\circ}$, значит, центральный угол $\angle AOB = 60^{\circ}$. 3. Вписанный угол $\alpha$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. 4. По свойству вписанного угла: $\alpha = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 4) **Ответ: $20^{\circ}$** Решение: 1. В $\triangle ABC$ угол $\angle B = 180^{\circ} - (20^{\circ} + 60^{\circ}) = 100^{\circ}$. 2. Биссектриса $BD$ делит угол $B$ пополам: $\angle ABD = \angle CBD = 100^{\circ} / 2 = 50^{\circ}$. 3. В прямоугольном $\triangle BHC$ (где $BH$ — высота к $AC$): $\angle HBC = 90^{\circ} - \angle C = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$. 4. Угол между высотой и биссектрисой $\angle HBD = \angle CBD - \angle HBC = 50^{\circ} - 30^{\circ} = 20^{\circ}$.