Билет 8. 1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по выбору обучающегося. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание - 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 4. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60, а биссектриса этого угла - 8 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла. Билет 9. 1. Определение внешнего угла треугольника. Сформулировать свойство внешнего угла треугольника. 2. Доказать, что при пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. 3. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, на 50 меньше другого. Найти эти углы. 4. Найти углы треугольника ABC.

### Билет 8. 1. **Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника.** - **Медиана** — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. - **Биссектриса** — это отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне. - **Высота** — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. 2. **Признаки параллельных прямых.** Если при пересечении двух прямых секущей: 1) накрест лежащие углы равны; 2) или соответственные углы равны; 3) или сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. 3. **Решение задачи на периметр.** Дано: $P = 19$ см, основание $a = 7$ см. Найти: боковую сторону $b$. В равнобедренном треугольнике $P = 2b + a$. $2b + 7 = 19$ $2b = 12$ $b = 6$ **Ответ: 6 см**. 4. **Решение задачи по геометрии.** Дано: $\triangle ABC$, $\angle C = 90^\circ$, $\angle A = 60^\circ$, биссектриса $AL = 8$ см. Найти: катет $BC$. 1) Рассмотрим $\triangle ALC$: $\angle LAC = 60^\circ : 2 = 30^\circ$ (так как $AL$ — биссектриса). Катет $LC$ лежит против угла $30^\circ$, значит $LC = \frac{1}{2} AL = 4$ см. 2) Найдем второй острый угол $\triangle ABC$: $\angle B = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. 3) Рассмотрим $\triangle ALB$: $\angle BAL = 30^\circ$ и $\angle B = 30^\circ$. Значит, $\triangle ALB$ — равнобедренный, $BL = AL = 8$ см. 4) $BC = BL + LC = 8 + 4 = 12$ см. **Ответ: 12 см**. ### Билет 9. 1. **Внешний угол треугольника.** **Определение:** Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. **Свойство:** Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. 2. **Доказательство.** Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. (Доказывается методом от противного: если бы они не были равны, то через точку пересечения можно было бы провести прямую, параллельную данной, что противоречит аксиоме параллельных прямых). 3. **Решение задачи на углы.** Пусть один угол $x$, тогда другой $(x - 50^\circ)$. При пересечении двух прямых образуются либо вертикальные углы (они равны), либо смежные (их сумма $180^\circ$). Так как углы не равны, они смежные. $x + (x - 50^\circ) = 180^\circ$ $2x = 230^\circ$ $x = 115^\circ$; второй угол $115^\circ - 50^\circ = 65^\circ$. **Ответ: $115^\circ$ и $65^\circ$**. 4. **Найти углы треугольника ABC (по чертежу).** 1) $\angle C$ смежный с углом $140^\circ$, значит $\angle C = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$. 2) На чертеже отмечено, что $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB=BC$ или $AC=BC$ — исходя из штрихов, боковые стороны равны). Если $AC=BC$, то $\angle A = \angle B = (180^\circ - 40^\circ) : 2 = 70^\circ$. **Ответ: $40^\circ, 70^\circ, 70^\circ$**.