Сформулируйте определение и свойства прямоугольника.

1. **Определение прямоугольника:** Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90°). **Свойства прямоугольника:** * Противоположные стороны равны и параллельны. * Все углы прямые. * Диагонали равны. * Диагонали точкой пересечения делятся пополам. * Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон. 2. **Формулировка теоремы Пифагора:** В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. **Доказательство:** Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Рассмотрим квадрат со стороной $(a+b)$. Площадь этого квадрата равна $(a+b)^2$. Внутри этого большого квадрата можно расположить четыре равных прямоугольных треугольника (с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$) и один квадрат со стороной $c$ в центре. Площадь большого квадрата также можно представить как сумму площадей этих пяти фигур: $$(a+b)^2 = 4 \cdot \frac{1}{2}ab + c^2$$ $$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$ $$a^2 + b^2 = c^2$$ Таким образом, теорема Пифагора доказана. 3. Пусть $R$ — радиус окружности. По условию хорда $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$. Рассмотрим треугольник $AOB$, где $O$ — центр окружности. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами, поэтому $OA = OB = R$. Так как $OA = OB = AB = R$, треугольник $AOB$ является равносторонним. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, центральный угол $\angle AOB = 60^\circ$. Вписанный угол $\alpha$ опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу. $$\alpha = \frac{1}{2} \angle AOB$$ $$\alpha = \frac{1}{2} \cdot 60^\circ$$ $$\alpha = 30^\circ$$ **Ответ: $30^\circ$** 4. Дано: треугольник $ABC$, $\angle A = 20^\circ$, $\angle C = 60^\circ$. Найдем $\angle B$: $$\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 20^\circ - 60^\circ = 100^\circ$$ $BH$ — высота, значит, $BH \perp AC$. В треугольнике $ABH$ угол $\angle AHB = 90^\circ$. $$\angle ABH = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$$ $BD$ — биссектриса, значит, она делит угол $B$ пополам. $$\angle ABD = \angle DBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{100^\circ}{2} = 50^\circ$$ Угол между высотой $BH$ и биссектрисой $BD$ — это угол $\angle HBD$. $$\angle HBD = \angle ABH - \angle ABD$$ $$\angle HBD = 70^\circ - 50^\circ = 20^\circ$$ **Ответ: $20^\circ$**