График какой функции изображен на рисунке?

Привет! Давай разберем твои задачи по математике. ### Задача 8 На графике изображена функция $y = f(x)$. Посмотрим на точки: - При $x=0$, $y=3$. Проверим варианты: - а) $y = \cos 0 + 3 = 1 + 3 = 4$ (не подходит) - б) $y = 3 \cos 0 = 3 \cdot 1 = 3$ (подходит) - в) $y = 2 \cos 0 + 1 = 2 + 1 = 3$ (подходит) - г) $y = \cos 0 + 2 = 1 + 2 = 3$ (подходит) Посмотрим на точки пересечения с осью $x$. График пересекает ось в точках $-\frac{\pi}{2}$ и $\frac{\pi}{2}$. Это нули функции. Проверим $y = 3 \cos x$ для $x = \frac{\pi}{2}$: $y = 3 \cos(\frac{\pi}{2}) = 3 \cdot 0 = 0$. Подходит. Проверим другие: - в) $2 \cos(\frac{\pi}{2}) + 1 = 1 \neq 0$ - г) $\cos(2 \cdot \frac{\pi}{2}) + 2 = \cos(\pi) + 2 = -1 + 2 = 1 \neq 0$ **Ответ: б) $y = 3 \cos x$** ### Задача 9 Найдите производную функции $y = (4x - 1) \cos x$. Используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$: $y' = (4x - 1)' \cos x + (4x - 1)(\cos x)'$ $y' = 4 \cos x + (4x - 1)(-\sin x)$ **Ответ: $y' = 4 \cos x - (4x - 1) \sin x$** ### Задача 10 Найдите производную функции $y = \frac{\ln x}{x + 1}$. Используем правило производной частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: $y' = \frac{(\ln x)' (x + 1) - \ln x (x + 1)'}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{1}{x} (x + 1) - \ln x \cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{\frac{x+1}{x} - \ln x}{(x + 1)^2} = \frac{x+1 - x \ln x}{x(x+1)^2}$ **Ответ: $y' = \frac{1 + x - x \ln x}{x(x+1)^2}$** ### Задача 11 Найдите точки экстремума функции $f(x) = x^3 - 48x + 17$. 1. Найдем производную: $f'(x) = 3x^2 - 48$. 2. Приравняем к нулю: $3x^2 - 48 = 0 \implies x^2 = 16 \implies x = \pm 4$. 3. Определим характер точек: $f''(x) = 6x$. $f''(4) = 24 > 0$ (минимум), $f''(-4) = -24 < 0$ (максимум). **Ответ: $x = -4$ (максимум), $x = 4$ (минимум).** ### Задача 12 Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^3 - x^2 - 40x + 3$ на отрезке $[0, 4]$. 1. Производная: $f'(x) = 3x^2 - 2x - 40$. 2. Критические точки: $3x^2 - 2x - 40 = 0$. $D = 4 - 4 \cdot 3 \cdot (-40) = 4 + 480 = 484 = 22^2$. $x = \frac{2 \pm 22}{6} \implies x_1 = 4, x_2 = -20/6 = -10/3$. На отрезке $[0, 4]$ лежит только $x=4$. 3. Значения на концах и в критической точке: $f(0) = 0^3 - 0^2 - 0 + 3 = 3$. $f(4) = 4^3 - 4^2 - 40 \cdot 4 + 3 = 64 - 16 - 160 + 3 = -109$. **Ответ: -109.** ### Задача 13 $x(t) = \frac{1}{2}t^3 - 3t^2 + 2t$. 1. Скорость $v(t) = x'(t) = \frac{3}{2}t^2 - 6t + 2$. При $t=6$: $v(6) = \frac{3}{2} \cdot 36 - 6 \cdot 6 + 2 = 54 - 36 + 2 = 20$ м/с. 2. Ускорение $a(t) = v'(t) = 3t - 6$. При $t=6$: $a(6) = 3 \cdot 6 - 6 = 18 - 6 = 12$ м/с$^2$. **Ответ: $v = 20$ м/с, $a = 12$ м/с$^2$.**