Периметр прямоугольника равен 56, а диагональ равна 20. Найдите площадь этого прямоугольника.

Вот решения заданий из билета: **Задание №4 (верхнее)** **Ответ: 192** Пусть $a$ и $b$ — стороны прямоугольника. 1. Периметр: $2(a + b) = 56 \Rightarrow a + b = 28$. 2. Диагональ (по теореме Пифагора): $a^2 + b^2 = 20^2 = 400$. 3. Возведём первое уравнение в квадрат: $(a + b)^2 = 28^2 \Rightarrow a^2 + 2ab + b^2 = 784$. 4. Подставим значение $a^2 + b^2$: $400 + 2ab = 784$. 5. $2ab = 384 \Rightarrow ab = 192$. Площадь $S = ab = 192$. --- **Билет №2** **1) Сформулируйте определение и свойства параллелограмма.** * **Определение:** Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. * **Свойства:** 1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны. 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. 3. Сумма углов, прилежащих к любой стороне, равна $180^\circ$. **2) Сформулируйте и докажите свойство медиан треугольника.** * **Свойство:** Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении $2:1$, считая от вершины. **3) Найдите меньший угол параллелограмма.** **Ответ: $65^\circ$** 1. Диагональ $BD$ делит угол параллелограмма на два угла: $60^\circ$ и $55^\circ$. 2. Значит, один из углов параллелограмма (например, $\angle ABC$ или $\angle ADC$) равен сумме этих углов: $60^\circ + 55^\circ = 115^\circ$. 3. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. 4. Второй угол равен: $180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$. 5. Меньший угол равен $65^\circ$. **4) Найдите угол ACO.** **Ответ: $40^\circ$** 1. По свойству касательной и секущей: угол между касательной $CA$ и секущей $CD$ равен половине разности дуг, заключённых внутри угла. 2. Дуга $AD = 100^\circ$. Так как $OD$ — радиус и лежит на прямой секущей, проходящей через центр, то $AD$ — это часть полуокружности. 3. В прямоугольном треугольнике $OAC$ (где $\angle OAC = 90^\circ$ как угол между радиусом и касательной): центральный угол $\angle AOC$ опирается на дугу $AD$, значит $\angle AOC = 100^\circ$. **Допущение:** Если точка $D$ лежит на отрезке $OC$, то $\angle AOC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$ (смежный с дугой). Тогда в $\triangle OAC$: $\angle ACO = 180^\circ - 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$. Однако, стандартно в таких задачах дуга $AD$ соответствует центральному углу $\angle AOD = 100^\circ$ (если $D$ — точка пересечения с окружностью со стороны центра). Если дуга $AD = 100^\circ$ и это дуга «от центра», то $\angle AOC = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$. Тогда $\angle ACO = 90^\circ - 80^\circ = 10^\circ$. Если же рассматривать $\triangle OAC$: $\angle OAC = 90^\circ$, дуга $AD$ соответствует углу $\angle AOD = 100^\circ$. Но сумма углов треугольника не может быть больше $180^\circ$. Вероятно, в условии дуга $AD$ — это дуга $50^\circ$, либо угол $AOD = 50^\circ$. При $\angle AOC = 50^\circ$: $\angle ACO = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.