Исследовать функцию с помощью производной и построить её график y = -x^2 - 4x + 1

Для исследования функции $y = -x^2 - 4x + 1$ с помощью производной выполним следующие шаги: 1. **Область определения:** Функция определена на всей числовой прямой, $D(y) = (-\infty; +\infty)$. 2. **Производная функции:** Найдем производную $y'$: $y' = (-x^2 - 4x + 1)' = -2x - 4$ 3. **Критические точки:** Приравняем производную к нулю: $-2x - 4 = 0$ $-2x = 4$ $x = -2$ 4. **Промежутки монотонности и экстремумы:** - При $x < -2$ (например, $x = -3$): $y'(-3) = -2(-3) - 4 = 6 - 4 = 2 > 0$. Функция возрастает. - При $x > -2$ (например, $x = 0$): $y'(0) = -2(0) - 4 = -4 < 0$. Функция убывает. - Так как в точке $x = -2$ производная меняет знак с «+» на «-», это точка максимума. - Найдем значение функции в точке максимума: $y(-2) = -(-2)^2 - 4(-2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5$. Точка максимума $(-2; 5)$. 5. **Точки пересечения с осями:** - С осью $Oy$ ($x=0$): $y = 0 - 0 + 1 = 1$. Точка $(0; 1)$. - С осью $Ox$ ($y=0$): $-x^2 - 4x + 1 = 0$, $x^2 + 4x - 1 = 0$. Дискриминант $D = 16 - 4(1)(-1) = 20$. Корни $x = \frac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$. Примерно $x_1 \approx 0.24$, $x_2 \approx -4.24$. :::div .chart-container @chart-1::: **Ответ:** Функция возрастает на $(-\infty; -2]$, убывает на $[-2; +\infty)$. Максимум в точке $(-2; 5)$.