Дайте определение секущей и касательной к окружности. Сформулируйте свойство касательной к окружности. Сформулируйте и докажите свойство диагоналей прямоугольника.

**Билет № 9** 1) **Секущая** — это прямая, имеющая с окружностью две общие точки. **Касательная** — это прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку. **Свойство касательной:** Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 2) **Свойство диагоналей прямоугольника:** Диагонали прямоугольника равны. **Доказательство:** Рассмотрим прямоугольник $ABCD$, где $AC$ и $BD$ — диагонали. Прямоугольные треугольники $ABD$ и $DCA$ равны по двум катетам ($AD$ — общий катет, $AB = CD$ как противоположные стороны прямоугольника). Из равенства треугольников следует, что их гипотенузы равны: $AC = BD$. Что и требовалось доказать. 3) **Ответ: 21** В прямоугольном треугольнике косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $$\cos A = \frac{AC}{AB}$$ $$\frac{5}{7} = \frac{15}{AB}$$ $$AB = \frac{15 \cdot 7}{5} = 3 \cdot 7 = 21$$ 4) **Ответ: 44°, 136°, 136°** Если около трапеции описана окружность, то эта трапеция — равнобедренная. У равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Значит, второй угол при том же основании тоже равен $44^\circ$. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$: $$\angle = 180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$$ Так как трапеция равнобедренная, углы при другом основании также равны $136^\circ$. **Билет № 10** 1) **Центральный угол** — это угол, вершина которого совпадает с центром окружности. **Вписанный угол** — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. **Свойство вписанного угла:** Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и равен половине дуги, на которую он опирается. 2) **Формулы площадей:** Параллелограмм: $S = a \cdot h_a$ Ромб: $S = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2$ Трапеция: $S = \frac{a + b}{2} \cdot h$ **Вывод формулы площади параллелограмма:** Параллелограмм $ABCD$ можно достроить до прямоугольника, проведя высоты из вершин $B$ и $C$ к прямой $AD$. Площадь будет равна площади прямоугольника с таким же основанием и высотой, так как треугольники, отсекаемые высотами, будут равны. 3) **Ответ: 103°** Диагональ делит угол параллелограмма на два угла. Весь угол параллелограмма равен их сумме: $$\angle 1 = 35^\circ + 42^\circ = 77^\circ$$ Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$. Найдём второй (больший) угол: $$\angle 2 = 180^\circ - 77^\circ = 103^\circ$$ 4) **Ответ: 130** 1. Найдём боковую сторону ($c$): $$P = a + b + 2c \Rightarrow 56 = 8 + 18 + 2c$$ $$56 = 26 + 2c \Rightarrow 2c = 30 \Rightarrow c = 15$$ 2. Найдём высоту ($h$). В равнобедренной трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна $(18 - 8) : 2 = 5$. По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2}$$ 3. Найдём площадь: $$S = \frac{8 + 18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2}$$ **Допущение:** Если в задаче подразумеваются целые числа без корней, возможно, в условии опечатка в значениях сторон или периметра. При данных числах ответ: $130\sqrt{2}$. Если считать приближенно, то это около 183,8. Но математически точный ответ — $130\sqrt{2}$.