1. Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов.
$$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$
Где $a$ и $b$ — катеты треугольника.
В данном случае $a = 6$ и $b = 7$.
$$S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 = 3 \cdot 7 = 21$$
**Ответ: 21**
2. Площадь треугольника вычисляется по формуле:
$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$$
В данном случае основание равно 24, а высота, проведённая к этому основанию, равна 19.
$$S = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot 19 = 12 \cdot 19 = 228$$
**Ответ: 228**
3. Угол AOD и угол BOC являются вертикальными, поэтому они равны.
$$\angle BOC = \angle AOD = 72^{\circ}$$
Треугольник BOC является равнобедренным, так как OB и OC — радиусы окружности.
Значит, углы при основании BC равны:
$$\angle OBC = \angle OCB$$
Сумма углов в треугольнике BOC равна $180^{\circ}$:
$$\angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^{\circ}$$
$$72^{\circ} + 2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ}$$
$$2 \cdot \angle OCB = 180^{\circ} - 72^{\circ}$$
$$2 \cdot \angle OCB = 108^{\circ}$$
$$\angle OCB = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}$$
Угол ACB — это то же самое, что угол OCB.
**Ответ: 54**
4. Угол ANB является вписанным и опирается на диаметр AB, поэтому он прямой.
$$\angle ANB = 90^{\circ}$$
В треугольнике ANB известны два угла:
$$\angle NBA = 55^{\circ}$$
$$\angle ANB = 90^{\circ}$$
Сумма углов в треугольнике ANB равна $180^{\circ}$:
$$\angle NAB + \angle NBA + \angle ANB = 180^{\circ}$$
$$\angle NAB + 55^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ}$$
$$\angle NAB + 145^{\circ} = 180^{\circ}$$
$$\angle NAB = 180^{\circ} - 145^{\circ} = 35^{\circ}$$
Угол NMB опирается на ту же дугу NB, что и угол NAB.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
$$\angle NMB = \angle NAB = 35^{\circ}$$
**Ответ: 35**
5. В параллелограмме ABCD противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$.
Биссектриса угла A делит угол A на две равные части. Пусть биссектриса — $AL$. Тогда $\angle BAL = \angle LAD$.
Так как $AD \parallel BC$, то $\angle LAD$ и $\angle ALB$ являются накрест лежащими углами при секущей $AL$. Значит, они равны:
$$\angle LAD = \angle ALB$$
По условию, биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный $21^{\circ}$, то есть $\angle ALB = 21^{\circ}$.
Тогда $\angle LAD = 21^{\circ}$.
Так как $AL$ — биссектриса угла A, то $\angle BAL = \angle LAD = 21^{\circ}$.
Следовательно, весь угол A равен:
$$\angle A = \angle BAL + \angle LAD = 21^{\circ} + 21^{\circ} = 42^{\circ}$$
Острый угол параллелограмма — это угол A.
**Ответ: 42**
6. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Также сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$.
Пусть один из углов равен $66^{\circ}$. Поскольку в равнобедренной трапеции два угла острые и два тупые, $66^{\circ}$ является острым углом.
Тогда два острых угла трапеции равны $66^{\circ}$.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^{\circ}$.
Пусть острый угол равен $\alpha = 66^{\circ}$, а тупой угол равен $\beta$.
$$\alpha + \beta = 180^{\circ}$$
$$66^{\circ} + \beta = 180^{\circ}$$
$$\beta = 180^{\circ} - 66^{\circ} = 114^{\circ}$$
Больший угол этой трапеции — это тупой угол.
**Ответ: 114**
7. Допущение: треугольник ABC расположен так, что его вершины находятся в узлах сетки.
По клеточкам определим длину стороны AC. Сторона AC горизонтальна. Длина AC равна 6 клеток (от x=1 до x=7).
Длина средней линии треугольника, параллельной одной из его сторон, равна половине длины этой стороны.
Средняя линия, параллельная стороне AC, будет равна:
$$L_{средней\ линии} = \frac{1}{2} \cdot AC$$
$$L_{средней\ линии} = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$$
**Ответ: 3**
8. Площадь параллелограмма можно найти по формуле:
$$S = a \cdot h_a$$
где $S$ — площадь, $a$ — длина одной стороны, $h_a$ — высота, проведённая к этой стороне.
Дана площадь $S = 32$. Длины сторон: $a_1 = 8$ и $a_2 = 16$.
Найдём высоту $h_1$, проведённую к стороне $a_1 = 8$:
$$32 = 8 \cdot h_1$$
$$h_1 = \frac{32}{8} = 4$$
Найдём высоту $h_2$, проведённую к стороне $a_2 = 16$:
$$32 = 16 \cdot h_2$$
$$h_2 = \frac{32}{16} = 2$$
Большая высота из двух найденных — это $h_1 = 4$.
**Ответ: 4**
