Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, \angle ABO = 36°. Найдите угол AOD.

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, $AO = BO = CO = DO$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный, так как $AO = BO$. Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180°$. Тогда $\angle BAO = \angle ABO = 36°$. $\\angle AOB = 180° - (36° + 36°) = 180° - 72° = 108°$. Углы $AOB$ и $AOD$ — смежные, их сумма $180°$. $\\angle AOD = 180° - \angle AOB = 180° - 108° = 72°$. **Ответ:** $72°$ 2. В прямоугольной трапеции один из углов равен $20°$. Поскольку в прямоугольной трапеции два угла по $90°$, то угол в $20°$ может быть только острым. Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180°$. Значит, угол, прилежащий к той же боковой стороне, что и угол в $20°$, будет равен $180° - 20° = 160°$. Два других угла трапеции будут прямыми, то есть по $90°$. **Ответ:** $20°, 90°, 90°, 160°$ 3. Пусть диагонали ромба равны $d_1 = 4$ см и $d_2 = 20$ см. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. $\\frac{d_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см $\\frac{d_2}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см По теореме Пифагора сторона ромба $a$ равна: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $a^2 = 2^2 + 10^2$ $a^2 = 4 + 100$ $a^2 = 104$ $a = \sqrt{104} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26}$ см. **Ответ:** $2\sqrt{26}$ см 4. В прямоугольном треугольнике катеты равны $15$ см и $20$ см. Пусть катеты $a = 15$ см, $b = 20$ см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу $c$: $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = 15^2 + 20^2$ $c^2 = 225 + 400$ $c^2 = 625$ $c = \sqrt{625} = 25$ см. Периметр треугольника $P$ равен сумме длин всех сторон: $P = a + b + c = 15 + 20 + 25 = 60$ см. **Ответ:** $60$ см 5. Смежные стороны параллелограмма равны $52$ см и $30$ см, а острый угол равен $30°$. Пусть стороны параллелограмма $a = 52$ см, $b = 30$ см, а угол между ними $\alpha = 30°$. Площадь параллелограмма $S$ вычисляется по формуле: $S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$ $S = 52 \cdot 30 \cdot \sin(30°)$ $\\sin(30°) = \frac{1}{2}$ $S = 52 \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} = 52 \cdot 15$ $S = 780$ см$^2$. **Ответ:** $780$ см$^2$ 6. Прямоугольный треугольник вписан в окружность таким образом, что его гипотенуза совпадает с диаметром окружности. Площадь круга $S_{круга} = 144\pi$ квадратных сантиметров. Формула площади круга $S_{круга} = \pi R^2$, где $R$ — радиус окружности. $144\pi = \pi R^2$ $R^2 = 144$ $R = \sqrt{144} = 12$ см. Диаметр окружности $D = 2R = 2 \cdot 12 = 24$ см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна диаметру, то есть $c = 24$ см. Один катет равен $a = 12$ см. Найдем длину второго катета $b$ по теореме Пифагора: $c^2 = a^2 + b^2$ $24^2 = 12^2 + b^2$ $576 = 144 + b^2$ $b^2 = 576 - 144$ $b^2 = 432$ $b = \sqrt{432} = \sqrt{144 \cdot 3} = 12\sqrt{3}$ см. **Ответ:** $12\sqrt{3}$ см 7. Сторона ромба равна $a = \sqrt{34}$ см, а одна из диагоналей $d_1 = 6$ см. Найдем вторую диагональ $d_2$. Используем свойство диагоналей ромба: они перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба. Катеты этого треугольника равны $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$. $\frac{d_1}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см. По теореме Пифагора: $a^2 = (\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $(\sqrt{34})^2 = 3^2 + (\frac{d_2}{2})^2$ $34 = 9 + (\frac{d_2}{2})^2$ $(\frac{d_2}{2})^2 = 34 - 9$ $(\frac{d_2}{2})^2 = 25$ $\frac{d_2}{2} = \sqrt{25} = 5$ $d_2 = 5 \cdot 2 = 10$ см. **Ответ:** $10$ см