12. Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведенными из вершины прямого угла, равен 20. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. 13. Периметр параллелограмма равен 94. Одна сторона параллелограмма на 41 больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Давай разберем задачи по геометрии: **12. Угол между биссектрисой и медианой** В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна ее половине, а угол между медианой и высотой равен разности острых углов. Но здесь дан угол между биссектрисой и медианой. 1. Угол между биссектрисой и высотой равен $\frac{|\angle A - \angle B|}{2}$. 2. В прямоугольном треугольнике угол между медианой и биссектрисой также равен $\frac{|\angle A - \angle B|}{2}$. 3. По условию $\frac{|\angle A - \angle B|}{2} = 20^{\circ}$, значит $|\angle A - \angle B| = 40^{\circ}$. 4. Так как $\angle A + \angle B = 90^{\circ}$, составим систему: $\begin{cases} A + B = 90 \\ A - B = 40 \end{cases}$ $2A = 130 \Rightarrow A = 65^{\circ}$; $B = 90 - 65 = 25^{\circ}$. **Ответ: 25** **13. Периметр параллелограмма** Периметр $P = 2(a + b) = 94$. Значит $a + b = 47$. Пусть меньшая сторона $x$, тогда большая $x + 41$. $x + (x + 41) = 47 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3$. **Ответ: 3** **14. Угол между хордой и касательной** Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую эта хорда стягивает. $\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 92^{\circ} = 46^{\circ}$. **Ответ: 46** **15. Периметр четырехугольника, в который вписана окружность** В описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. $AB + CD = 22 + 29 = 51$. Периметр $P = (AB + CD) + (BC + AD) = 51 + 51 = 102$. **Ответ: 102** **17. Трапеция с перпендикулярными диагоналями** В равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии. $h = m = 9$. **Ответ: 9** **19. Углы равнобедренного треугольника** В $\triangle ABC$: $AC = BC$, значит $\angle A = \angle B$. Сумма углов $180^{\circ}$: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$. $2 \cdot \angle A + 118^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2 \cdot \angle A = 62^{\circ} \Rightarrow \angle A = 31^{\circ}$. **Ответ: 31** **20. Высота правильного треугольника** Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R = \frac{2}{3}h$. $2 = \frac{2}{3}h \Rightarrow h = 3$. **Ответ: 3**