Решите уравнение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Нам нужно найти все значения $x$, при которых $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Общее решение для уравнения $\sin x = a$ имеет вид: $$x = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ В нашем случае $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Сначала найдём $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. Мы знаем, что $\arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4}$. Поскольку синус отрицателен, то угол находится в III или IV четверти. Главное значение арксинуса лежит в диапазоне $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ Теперь подставим это в общую формулу: $$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Это можно записать двумя сериями решений: 1. Если $n$ чётное, то $n = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. $$x = (-1)^{2k} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi (2k)$$ $$x = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k$$ $$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ 2. Если $n$ нечётное, то $n = 2k+1$, где $k \in \mathbb{Z}$. $$x = (-1)^{2k+1} \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi (2k+1)$$ $$x = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) + 2\pi k + \pi$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi k$$ $$x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k$ или $x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Также можно записать как $x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$.