Найти расстояние между городами.

### Решение задачи 8 Пусть $x$ — исходная сумма денег. 1. Выдано $\frac{3}{11}x$, осталось: $x - \frac{3}{11}x = \frac{8}{11}x$. 2. Затем выдано $\frac{1}{4}$ от остатка: $\frac{1}{4} \cdot \frac{8}{11}x = \frac{2}{11}x$. Осталось: $\frac{8}{11}x - \frac{2}{11}x = \frac{6}{11}x$. 3. Далее выдано $\frac{2}{7}$ от нового остатка: $\frac{2}{7} \cdot \frac{6}{11}x = \frac{12}{77}x$. Осталось: $\frac{6}{11}x - \frac{12}{77}x = \frac{42-12}{77}x = \frac{30}{77}x$. 4. Наконец, выдано $\frac{7}{9}$ от третьего остатка: $\frac{7}{9} \cdot \frac{30}{77}x = \frac{70}{231}x = \frac{10}{33}x$. В итоге осталось: $\frac{30}{77}x - \frac{10}{33}x$. Приведем к общему знаменателю $231$: $\frac{90}{231}x - \frac{70}{231}x = \frac{20}{231}x$. 5. По условию, остаток равен $660$ руб.: $\frac{20}{231}x = 660 \implies x = 660 \cdot \frac{231}{20} = 33 \cdot 231 = 7623$. **Ответ: 7623 руб.** ### Решение задачи 9 1. Требуемая средняя скорость: $v_{cp} = \frac{40,5}{9} = 4,5$ км/ч. 2. Пешеход шел первые $5$ часов со скоростью $4,5 + 0,5 = 5$ км/ч. Пройденное расстояние: $5 \cdot 5 = 25$ км. 3. Оставшееся расстояние: $40,5 - 25 = 15,5$ км. 4. Оставшееся время: $9 - 5 = 4$ часа. 5. Скорость на оставшемся пути: $v_{ост} = \frac{15,5}{4} = 3,875$ км/ч. **Ответ: 3,875 км/ч.** ### Решение задачи 10 1. Пшеница: $1,5$ т = $1500$ кг. 2. После размола (потеря $\frac{1}{10}$): $1500 \cdot (1 - 0,1) = 1500 \cdot 0,9 = 1350$ кг муки. 3. Выпечка хлеба (припек $\frac{2}{5}$ веса муки): $1350 + (1350 \cdot 0,4) = 1350 + 540 = 1890$ кг. **Ответ: 1890 кг.** ### Решение задачи 11 1. Пусть $S$ — расстояние до лагеря. Время на путь: $t = \frac{S}{4,5}$. 2. Опоздание на $\frac{1}{4}$ часа означает, что реальное время в пути на $0,25$ ч больше запланированного: $\frac{S}{4,5} = t_{план} + 0,25 \implies t_{план} = \frac{S}{4,5} - 0,25$. 3. Нужно прийти за $12$ мин ($0,2$ ч) до обеда: $t_{нужн} = t_{план} - 0,2 = \frac{S}{4,5} - 0,25 - 0,2 = \frac{S}{4,5} - 0,45$. 4. Приравняем: $t_{нужн} = \frac{S}{v} \implies v = \frac{S}{\frac{S}{4,5} - 0,45} = \frac{4,5S}{S - 2,025}$. Так как у нас нет $S$, найдем $S$ через время до обеда (2 часа): $2 = \frac{S}{4,5} - 0,25 \implies 2,25 = \frac{S}{4,5} \implies S = 10,125$ км. 5. Скорость: $v = \frac{10,125}{2 - 0,2} = \frac{10,125}{1,8} = 5,625$ км/ч. **Ответ: 5,625 км/ч.** ### Решение задачи 12 1. Первая мастерская: скорость $v_1 = \frac{1}{4}$ заказа/день. Вторая: $v_2 = \frac{1}{3}$ заказа/день. 2. За $1,5$ дня первая мастерская выполнила: $\frac{1}{4} \cdot 1,5 = 0,375$ заказа. Вторая: $\frac{1}{3} \cdot 1,5 = 0,5$ заказа. 3. По условию, каждая выполнила по $\frac{1}{2}$ заказа. Значит, они увеличили производительность. 4. Новые скорости: $v'_1 = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}$ заказа/день; $v'_2 = \frac{0,5}{1,5} = \frac{1}{3}$ заказа/день. 5. Увеличение: $v'_1 / v_1 = (1/3) / (1/4) = 4/3 \approx 1,33$ раза. $v'_2 / v_2 = (1/3) / (1/3) = 1$ (не увеличила). **Ответ: первая мастерская увеличила в 1,33 раза.**