Найти значение выражения: √70² - 42².

Привет! Давай разберем задания из билета №6: 1. Найти значение выражения $\sqrt{70^2 - 42^2}$. По формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. $\sqrt{(70-42)(70+42)} = \sqrt{28 \cdot 112} = \sqrt{28 \cdot (4 \cdot 28)} = \sqrt{28^2 \cdot 2^2} = 28 \cdot 2 = 56$. 2. Найти корень уравнения $x = \frac{9x+8}{x+2}$. Умножим обе части на $(x+2)$ (при условии $x \neq -2$): $x(x+2) = 9x+8$ $x^2 + 2x = 9x + 8$ $x^2 - 7x - 8 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 8$, $x_2 = -1$. Больший корень — $8$. 3. Бизнесмен Петров получил в 2015 году прибыль 8000 руб. Каждый год прибыль увеличивалась на 200%. Сколько заработает за 2017 год? Увеличение на 200% означает, что прибыль становится $100\% + 200\% = 300\%$ от предыдущей (умножаем на 3). 2015 г.: $8000$ руб. 2016 г.: $8000 \cdot 3 = 24000$ руб. 2017 г.: $24000 \cdot 3 = 72000$ руб. 4. Найти координаты середины отрезка AB, если A(16; 4) и B(14; 12). $x_c = \frac{16+14}{2} = \frac{30}{2} = 15$ $y_c = \frac{4+12}{2} = \frac{16}{2} = 8$ Координаты середины: $(15; 8)$. 5. В треугольнике ABC угол C = 90°, AB = $10\sqrt{2}$, AC = $7\sqrt{2}$. Площадь? По теореме Пифагора $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - (7\sqrt{2})^2} = \sqrt{200 - 98} = \sqrt{102}$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{2} \cdot \sqrt{102} = \frac{7}{2} \cdot \sqrt{204} = \frac{7}{2} \cdot 2\sqrt{51} = 7\sqrt{51}$. 6. $S(t) = t^2 - 4t + 2$. Скорость $v(t) = S'(t) = 2t - 4$. Когда $v(t) = 6$? $2t - 4 = 6 \Rightarrow 2t = 10 \Rightarrow t = 5$ с. 7. $\sin x = \frac{1}{2}$, $x$ во второй четверти. Найти $\cos x$. $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 \Rightarrow \cos^2 x = 1 - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$. $\cos x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. Во второй четверти косинус отрицательный, значит $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. 8. $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 8$. Точки экстремума: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 0$ $x^2 - x - 2 = 0$ По теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$. 9. Объем конуса $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$. Высота $h=24$, диаметр $20 \Rightarrow r = 10$. $V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 10^2 \cdot 24 = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 100 \cdot 24 = 800\pi$. 10. Цилиндр. Площадь основания $S_{осн} = \frac{V_{воды}}{h_{воды}} = \frac{2000}{12} = \frac{500}{3}$ см$^2$. Объем детали равен объему вытесненной жидкости: $V_{дет} = S_{осн} \cdot \Delta h = \frac{500}{3} \cdot 9 = 500 \cdot 3 = 1500$ см$^3$.