Решите тригонометрическое уравнение $\sin\left(-\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Допущение: В правой части уравнения \(\frac{\sqrt{2}}{2}\). 1. Используем свойство синуса нечётной функции: $\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$. $$\sin\left(-\frac{x}{3}\right) = -\sin\left(\frac{x}{3}\right)$$ 2. Перепишем уравнение с учетом этого свойства: $$- \sin\left(\frac{x}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 3. Умножим обе части уравнения на -1: $$\sin\left(\frac{x}{3}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ 4. Решаем тригонометрическое уравнение вида $\sin(t) = a$. Общая формула для решения: $$t = (-1)^n \arcsin(a) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ В нашем случае $t = \frac{x}{3}$ и $a = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $$\frac{x}{3} = (-1)^n \arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 5. Находим значение $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$. $$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\frac{\pi}{4}$$ 6. Подставляем это значение в уравнение для $\frac{x}{3}$: $$\frac{x}{3} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{4} ight) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Можно записать это как: $$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 7. Умножим обе части на 3, чтобы найти x: $$x = 3\left((-1)^{n+1} \frac{\pi}{4} + \pi n\right), \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ **Ответ:** $x = (-1)^{n+1} \frac{3\pi}{4} + 3\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$