Найти значение выражения: 7^9 * 3^10 : 21^10

Привет! Давай разберем эти задачи по порядку. **1. Найдите значение выражения: $7^9 \cdot 3^{10} : 21^{10}$** Преобразуем $21^{10}$ как $(7 \cdot 3)^{10} = 7^{10} \cdot 3^{10}$. Получаем: $\frac{7^9 \cdot 3^{10}}{7^{10} \cdot 3^{10}} = \frac{7^9}{7^{10}} = \frac{1}{7} \approx 0,14$. **2. Найдите корень уравнения $\sqrt{112-6x} = x$** Возведем обе части в квадрат: $112 - 6x = x^2$. $x^2 + 6x - 112 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант: $D = 36 - 4 \cdot (-112) = 36 + 448 = 484 = 22^2$. $x_1 = \frac{-6+22}{2} = 8$, $x_2 = \frac{-6-22}{2} = -14$. Проверка: при $x = -14$ корень равен отрицательному числу, что невозможно ($\sqrt{...} \ge 0$). При $x = 8$: $\sqrt{112-48} = \sqrt{64} = 8$. Подходит. **Ответ: 8.** **3. Смешали 4 л 15% раствора и 6 л 25% раствора.** Находим массу чистого вещества: $4 \cdot 0,15 + 6 \cdot 0,25 = 0,6 + 1,5 = 2,1$ литра. Общий объем смеси: $4 + 6 = 10$ литров. Концентрация: $\frac{2,1}{10} = 0,21$ или 21%. **Ответ: 21%.** **4. Найдите длину вектора $\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b}$** Даны $\vec{a}(2; -3)$ и $\vec{b}(0; 1)$. $2\vec{a} = (4; -6)$. $\vec{c} = (4+0; -6+1) = (4; -5)$. Длина $|\vec{c}| = \sqrt{4^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}$. **Ответ: $\sqrt{41}$.** **5. В треугольнике ABC угол С равен 90°, AC=$2\sqrt{19}$, AB=20. Найти площадь.** По теореме Пифагора $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 20^2 - (2\sqrt{19})^2 = 400 - (4 \cdot 19) = 400 - 76 = 324$. $BC = \sqrt{324} = 18$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{19} \cdot 18 = 18\sqrt{19}$. **Ответ: $18\sqrt{19}$.** **6. $S(t) = 3t^2 - 19t + 2$. В какой момент времени скорость равна 17?** Скорость — это производная $v(t) = S'(t) = 6t - 19$. $6t - 19 = 17 \implies 6t = 36 \implies t = 6$. **Ответ: 6.** **7. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, если измерения 8, 10 и 20.** $S = 2(ab + bc + ac) = 2(8 \cdot 10 + 10 \cdot 20 + 8 \cdot 20) = 2(80 + 200 + 160) = 2(440) = 880$. **Ответ: 880.** **8. Найти точку максимума $f(x) = x^3 - 6x^2 + 10$.** $f'(x) = 3x^2 - 12x$. Приравняем к нулю: $3x(x - 4) = 0$. Критические точки: $x = 0$ и $x = 4$. При переходе через $x=0$ производная меняет знак с "+" на "-" (максимум), а через $x=4$ с "-" на "+" (минимум). Точка максимума — $x = 0$. **Ответ: 0.** **9. Треугольник со сторонами 12 и 5 вращается вокруг большего катета.** Получается конус. Высота $h = 12$, радиус основания $r = 5$. Сечение — это равнобедренный треугольник с основанием $2r = 10$ и высотой $H = 12$. Площадь $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$. **Ответ: 60.** **10. Объем детали.** Объем погруженного тела равен объему вытесненной воды. Объем призмы $V = S_{осн} \cdot h$. Разница высот: $27 - 23 = 4$ см. Объем детали равен объему воды в слое высотой 4 см. Так как в задаче сказано «налили 2300 воды», предположим, что это объем (возможно, опечатка в условии и имелось в виду 2300 см³, или же это начальный объем V1, но нам достаточно найти приращение). Если 2300 — это объем воды при 23 см, то объем 1 см высоты = $2300 / 23 = 100$ см³. Тогда объем 4 см высоты = $100 \cdot 4 = 400$ см³. **Ответ: 400.**