Для функции f(х) = 3х2-5 найди первообразную, график которой проходит через точку А(1;3).

№1. Для функции $f(x) = 3x^2 - 5$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A(1;3)$. Первообразная функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = x^3 - 5x + C$, где $C$ - константа. Чтобы найти значение $C$, используем точку $A(1;3)$: $F(1) = 1^3 - 5 \cdot 1 + C = 3$. Решаем уравнение: $1 - 5 + C = 3$, следовательно, $C = 7$. Таким образом, искомая первообразная: $F(x) = x^3 - 5x + 7$. **Ответ:** $F(x) = x^3 - 5x + 7$ №2. Вычислите интеграл: a) $\int_0^1 (3x^2 - x) dx$ $\int_0^1 (3x^2 - x) dx = [x^3 - \frac{x^2}{2}]_0^1 = (1^3 - \frac{1^2}{2}) - (0^3 - \frac{0^2}{2}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ **Ответ:** $\frac{1}{2}$ б) $\int_{-\pi}^{\pi} cos(2x) dx$ $\int_{-\pi}^{\pi} cos(2x) dx = [\frac{1}{2}sin(2x)]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{2}sin(2\pi) - \frac{1}{2}sin(-2\pi) = 0 - 0 = 0$ **Ответ:** 0 №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: а) Параболой $y = (x-2)^2$, прямыми $x = 0$ и $x = 3$ и осью $Ox$. Площадь фигуры можно найти как интеграл: $S = \int_0^3 (x-2)^2 dx = \int_0^3 (x^2 - 4x + 4) dx = [\frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x]_0^3 = (\frac{3^3}{3} - 2 \cdot 3^2 + 4 \cdot 3) - (0) = 9 - 18 + 12 = 3$ **Ответ:** 3 б) Графиком функции $y = \frac{4}{x}$ при $x < 0$, параболой $y = x^2 + 4x - 1$. **Допущение:** Необходимо найти площадь фигуры, образованной пересечением графика функции $y = \frac{4}{x}$ при $x < 0$ и параболой $y = x^2 + 4x - 1$. Сначала найдем точки пересечения графиков, приравняв функции: $\frac{4}{x} = x^2 + 4x - 1$ $4 = x^3 + 4x^2 - x$ $x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0$ Сгруппируем слагаемые: $x^2(x + 4) - 1(x + 4) = 0$ $(x^2 - 1)(x + 4) = 0$ $(x - 1)(x + 1)(x + 4) = 0$ Корни уравнения: $x = 1, x = -1, x = -4$. Так как $x < 0$, то выбираем $x = -1$ и $x = -4$. Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной этими графиками, как интеграл от разности функций на промежутке $[-4, -1]$: $S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 4x - 1 - \frac{4}{x}) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x^2 - x - 4\ln|x|]_{-4}^{-1} = (\frac{(-1)^3}{3} + 2(-1)^2 - (-1) - 4\ln|-1|) - (\frac{(-4)^3}{3} + 2(-4)^2 - (-4) - 4\ln|-4|) = (-\frac{1}{3} + 2 + 1 - 0) - (-\frac{64}{3} + 32 + 4 - 4\ln(4)) = -\frac{1}{3} + 3 + \frac{64}{3} - 36 + 4\ln(4) = \frac{63}{3} - 33 + 4\ln(4) = 21 - 33 + 4\ln(4) = -12 + 4\ln(4)$ $S = -12 + 4\ln(4) \approx -6.45$ Так как площадь не может быть отрицательной, берем модуль: $S = |-12 + 4\ln(4)| \approx 6.45$ **Ответ:** $S \approx 6.45$