Вычислите интеграл: 1) integral from pi/6 to pi/3 dx/cos^2(x); 2) integral from 1 to 3 (1/x^2 - 3x^2) dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y = x^2 и прямыми y = 0 и x = 3. Найдите первообразную функции f(x) = 4x^3 - 4x + 5, график которой проходит через точку A(1; 6). Вычислите интеграл: 1) integral from -pi to pi (4cos(4x) + 1/3sin(x/3)) dx; 2) integral from 0 to 1 (5/sqrt(5x+4) - x) dx. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6 - x^2 и y = x + 4. Используя геометрический смысл интеграла, вычислите integral from -sqrt(5) to sqrt(5) sqrt(5-x^2) dx.

1. **Вычислите интеграл:** 1) $\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left. \text{tg } x \right|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \text{tg } \frac{\pi}{3} - \text{tg } \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$. 2) $\int\limits_{1}^{3} (\frac{1}{x^2} - 3x^2) dx = \int\limits_{1}^{3} (x^{-2} - 3x^2) dx = \left. (-\frac{1}{x} - x^3) \right|_{1}^{3} = (-\frac{1}{3} - 27) - (-1 - 1) = -27\frac{1}{3} + 2 = -25\frac{1}{3}$. 2. **Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой $y = x^2$ и прямыми $y = 0$ и $x = 3$.** $S = \int\limits_{0}^{3} x^2 dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{3} = \frac{27}{3} - 0 = 9$. **Ответ: 9**. 3. **Найдите первообразную функции $f(x) = 4x^3 - 4x + 5$, график которой проходит через точку $A(1; 6)$.** Общий вид первообразной: $F(x) = \int (4x^3 - 4x + 5) dx = x^4 - 2x^2 + 5x + C$. Подставим координаты точки $A(1; 6)$: $6 = 1^4 - 2 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1 + C \Rightarrow 6 = 1 - 2 + 5 + C \Rightarrow 6 = 4 + C \Rightarrow C = 2$. **Ответ: $F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 2$**. 4. **Вычислите интеграл:** 1) $\int\limits_{-\pi}^{\pi} (4\cos 4x + \frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}) dx = \left. (\sin 4x - \cos \frac{x}{3}) \right|_{-\pi}^{\pi} = (\sin 4\pi - \cos \frac{\pi}{3}) - (\sin(-4\pi) - \cos(-\frac{\pi}{3})) = (0 - 0,5) - (0 - 0,5) = 0$. 2) $\int\limits_{0}^{1} (\frac{5}{\sqrt{5x+4}} - x) dx = \left. (2\sqrt{5x+4} - \frac{x^2}{2}) \right|_{0}^{1} = (2\sqrt{9} - \frac{1}{2}) - (2\sqrt{4} - 0) = (6 - 0,5) - 4 = 1,5$. 5. **Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций $y = 6 - x^2$ и $y = x + 4$.** Найдем точки пересечения: $6 - x^2 = x + 4 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. По теореме Виета $x_1 = -2, x_2 = 1$. $S = \int\limits_{-2}^{1} (6 - x^2 - (x + 4)) dx = \int\limits_{-2}^{1} (2 - x - x^2) dx = \left. (2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}) \right|_{-2}^{1} = (2 - 0,5 - \frac{1}{3}) - (-4 - 2 + \frac{8}{3}) = 1\frac{1}{6} - (-3\frac{1}{3}) = 4,5$. **Ответ: 4,5**. 6. **Используя геометрический смысл интеграла, вычислите $\int\limits_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \sqrt{5 - x^2} dx$.** Функция $y = \sqrt{5 - x^2}$ описывает верхнюю полуокружность с центром в начале координат и радиусом $R = \sqrt{5}$. Пределы интегрирования совпадают с краями этой полуокружности. Интеграл равен площади этой фигуры. $S = \frac{1}{2} \pi R^2 = \frac{1}{2} \pi (\sqrt{5})^2 = 2,5\pi$. **Ответ: $2,5\pi$**.