№1. Для функции f(x) = 3x - 5 найдите первообразную, график которой проходит через точку A(1;2)

№1. Найдём общую первообразную функции $f(x) = 3x - 5$: $F(x) = \int (3x - 5) dx = \frac{3x^2}{2} - 5x + C = 1,5x^2 - 5x + C$. Подставим координаты точки $A(1; 2)$, где $x = 1, y = 2$: $1,5 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 + C = 2$ $1,5 - 5 + C = 2$ $-3,5 + C = 2$ $C = 5,5$ Ответ: $F(x) = 1,5x^2 - 5x + 5,5$ №2. Вычислим интегралы: а) $\int_0^1 (3x^2 - x) dx = [x^3 - \frac{x^2}{2}]_0^1 = (1^3 - \frac{1^2}{2}) - (0) = 1 - 0,5 = 0,5$ б) $\int_{-\pi}^{\pi} \cos 3x dx = [\frac{1}{3} \sin 3x]_{-\pi}^{\pi} = \frac{1}{3} (\sin 3\pi - \sin(-3\pi)) = \frac{1}{3} (0 - 0) = 0$ №3. Найдем площадь фигуры: а) Фигура ограничена сверху параболой $y = (x+2)^2$, снизу осью $Ox$ ($y=0$), слева $x = -3$, справа $x = 0$. $S = \int_{-3}^0 (x+2)^2 dx = [\frac{(x+2)^3}{3}]_{-3}^0 = \frac{(0+2)^3}{3} - \frac{(-3+2)^3}{3} = \frac{8}{3} - (-\frac{1}{3}) = \frac{9}{3} = 3$ Ответ: 3 б) Найдём точки пересечения гиперболы $y = \frac{4}{x}$ и параболы $y = x^2 + 4x - 1$ при $x < 0$: $\frac{4}{x} = x^2 + 4x - 1 \Rightarrow 4 = x^3 + 4x^2 - x \Rightarrow x^3 + 4x^2 - x - 4 = 0$ $x^2(x+4) - 1(x+4) = 0 \Rightarrow (x^2-1)(x+4) = 0 \Rightarrow x_1 = -4, x_2 = -1, x_3 = 1$ (не подходит, т.к. $x < 0$). На интервале $[-4; -1]$ парабола выше гиперболы: $S = \int_{-4}^{-1} (x^2 + 4x - 1 - \frac{4}{x}) dx = [\frac{x^3}{3} + 2x^2 - x - 4\ln|x|]_{-4}^{-1} =$ $= (-\frac{1}{3} + 2 + 1 - 4\ln 1) - (-\frac{64}{3} + 32 + 4 - 4\ln 4) = 2\frac{2}{3} - (14\frac{2}{3} - 4\ln 4) = 4\ln 4 - 12 = 8\ln 2 - 12$ Так как площадь должна быть положительной, а на данном участке $y < 0$ для обеих функций, возьмем модуль разности интегралов от функций до оси $Ox$. Ответ: $8\ln 2 - 12 \approx -6,45$ (площадь между кривыми под осью $Ox$ вычисляется как интеграл верхней минус нижняя). Проверим значения: при $x=-2$, $y_{пар}=-5, y_{гип}=-2$. Значит, гипербола выше. $S = \int_{-4}^{-1} (\frac{4}{x} - (x^2 + 4x - 1)) dx = 12 - 8\ln 2$