Показать, что функция F(x)=e^{2x}+x^3-cos x является первообразной для функции f(x)=2e^{2x}+3x^2+sin x на всей числовой прямой.

1. Чтобы показать, что $F(x)$ является первообразной для $f(x)$, нужно найти производную $F'(x)$ и сравнить её с $f(x)$: $F'(x) = (e^{2x} + x^3 - \cos x)' = (e^{2x})' + (x^3)' - (\cos x)' = 2e^{2x} + 3x^2 - (-\\sin x) = 2e^{2x} + 3x^2 + \sin x$ Так как $F'(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная для $f(x)$ на всей числовой прямой. 2. Найдём общий вид первообразной $F(x) = \int (3x^2 + 2x - 3) dx = x^3 + x^2 - 3x + C$. Подставим координаты точки $M(1; -2)$, где $x=1, y=-2$: $-2 = 1^3 + 1^2 - 3 \cdot 1 + C \Rightarrow -2 = 1 + 1 - 3 + C \Rightarrow -2 = -1 + C \Rightarrow C = -1$. **Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - 3x - 1$.** 3. Вычислим интегралы по формуле Ньютона-Лейбница: 1) $\int_1^2 3x^3 dx = \left. \frac{3x^4}{4} \right|_1^2 = \frac{3 \cdot 16}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4} = 12 - 0,75 = 11,25$. 2) $\int_2^4 \frac{dx}{x^2} = \int_2^4 x^{-2} dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_2^4 = -\frac{1}{4} - (-\\frac{1}{2}) = -0,25 + 0,5 = 0,25$. 3) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = \left. \sin x \right|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$. 4) $\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin 2x dx = \left. -\frac{1}{2} \cos 2x \right|_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} = -\frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = -\frac{1}{2}(1 - (-1)) = -\frac{1}{2} \cdot 2 = -1$. 4. Нахождение площадей: 1) Найдём точки пересечения параболы $y = x^2 + x - 6$ с осью $Ox$ ($y=0$): $x^2 + x - 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 2$. На интервале $(-3; 2)$ функция отрицательна. $S = \left| \int_{-3}^2 (x^2 + x - 6) dx \right| = \left| \left. (\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - 6x) \right|_{-3}^2 \right| = |(\frac{8}{3} + 2 - 12) - (-9 + 4,5 + 18)| = |-\frac{22}{3} - 13,5| = |-\frac{22}{3} - \frac{27}{2}| = |-\frac{44+81}{6}| = \frac{125}{6} = 20\frac{5}{6}$. 2) Найдём точки пересечения $x^2 + 1 = 10 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$. $S = \int_{-3}^3 (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^3 (9 - x^2) dx = \left. (9x - \frac{x^3}{3}) \right|_{-3}^3 = (27 - 9) - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36$.