Для функции f(x) = 2x²+х найди первообразную, график которой проходит через точку А(1;2).

Решаю. №1. Для функции $f(x) = 2x^2 + x$ найдите первообразную, график которой проходит через точку $A(1; 2)$. Первообразная функции $f(x)$ имеет вид $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C$, где $C$ — константа. Подставим координаты точки $A(1; 2)$ в выражение для $F(x)$: $$2 = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 + C$$ $$2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} + C$$ $$C = 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{12 - 4 - 3}{6} = \frac{5}{6}$$ Итак, первообразная имеет вид: $$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}$$ **Ответ:** $F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{6}$ №2. Вычислите интеграл: a) $\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) dx$ $$\int_{0}^{1} (2x^2 - 2) dx = \left[\frac{2}{3}x^3 - 2x\right]_0^1 = \left(\frac{2}{3}(1)^3 - 2(1)\right) - \left(\frac{2}{3}(0)^3 - 2(0)\right) = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2 - 6}{3} = -\frac{4}{3}$$ **Ответ:** $-\frac{4}{3}$ б) $\int_{-\pi}^{\pi} \sin 3x dx$ $$\int_{-\pi}^{\pi} \sin 3x dx = \left[-\frac{1}{3}\cos 3x\right]_{-\pi}^{\pi} = -\frac{1}{3}(\cos 3\pi - \cos (-3\pi)) = -\frac{1}{3}(-1 - (-1)) = 0$$ **Ответ:** 0 №3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: a) параболой $y = (x + 1)^2$, прямыми $x = -2$ и $x = 1$ и осью $Ox$. Площадь фигуры можно найти как интеграл от функции $y = (x + 1)^2$ в пределах от $-2$ до $1$: $$S = \int_{-2}^{1} (x + 1)^2 dx = \int_{-2}^{1} (x^2 + 2x + 1) dx = \left[\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x\right]_{-2}^{1} = $$ $$= \left(\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 + 1\right) - \left(\frac{1}{3}(-2)^3 + (-2)^2 + (-2)\right) = \left(\frac{1}{3} + 1 + 1\right) - \left(-\frac{8}{3} + 4 - 2\right) = $$ $$= \frac{1}{3} + 2 + \frac{8}{3} - 2 = \frac{9}{3} = 3$$ **Ответ:** 3 б) графиком функции $y = \frac{4}{x}$ при $x > 0$, параболой $y = -x^2 + 4x + 1$. Чтобы найти площадь фигуры, сначала нужно найти точки пересечения графиков функций: $$\frac{4}{x} = -x^2 + 4x + 1$$ $$4 = -x^3 + 4x^2 + x$$ $$x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$$ $$x^2(x - 4) - (x - 4) = 0$$ $$(x^2 - 1)(x - 4) = 0$$ $$(x - 1)(x + 1)(x - 4) = 0$$ Корни: $x_1 = 1$, $x_2 = -1$, $x_3 = 4$. Так как $x > 0$, то рассматриваем $x_1 = 1$ и $x_3 = 4$. Площадь равна интегралу от разности функций в пределах от 1 до 4: $$S = \int_{1}^{4} (-x^2 + 4x + 1 - \frac{4}{x}) dx = \left[-\frac{1}{3}x^3 + 2x^2 + x - 4\ln x\right]_{1}^{4} = $$ $$= \left(-\frac{1}{3}(4)^3 + 2(4)^2 + 4 - 4\ln 4\right) - \left(-\frac{1}{3}(1)^3 + 2(1)^2 + 1 - 4\ln 1\right) = $$ $$= \left(-\frac{64}{3} + 32 + 4 - 4\ln 4\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 + 1 - 0\right) = $$ $$= -\frac{64}{3} + 36 - 4\ln 4 + \frac{1}{3} - 3 = -\frac{63}{3} + 33 - 4\ln 4 = -21 + 33 - 4\ln 4 = 12 - 4\ln 4$$ **Ответ:** $12 - 4\ln 4$